SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ TĨNH
NĂM HỌC: 2013 – 2014
MÔN: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1:
- Giải hệ phương trình: $x^2+4/y^2=4$ và $x-2/y-4x/y=-2$
- Giải phương trình: $(3\sqrt{x}-\sqrt{x+8})(4+3\sqrt{x^2+8x}=16(x-1)$
Câu 2:
- Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn $x+y+z=6$ và $(x-1)^3+(y-2)^3+(z-3)^3=0$
Tính giá trị của biểu thức $(x-1)^{2013}+(y-2)^{2013}+(z-3)^{2013}$
- Cho các số thực dương x, y thỏa mãn :$4/x^2 + 1/y^2=2$
Chứng minh rằng: $x^2-4xy+6y^2+2x\geq 6$
Câu 3:
Tìm các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện
$(a-b\sqrt{5})/(b-c\sqrt{5})$ là số hữu tỉ và $a^2+b^2+c^2$ là số nguyên tố.
Câu 4:
Cho tam giác ABC có AB = AC = a, BAC = 1200. Các tiếp tuyến của đường tròn (A; AB) tại B và C cắt nhau tại D. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (A; AB) (M khác B, C). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (A; AB) cắt DB, DC lần lượt tại E, F. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AE, AF với đường thẳng BC
a. Chứng minh tứ giác ABEQ nội tiếp được đường tròn và các đường thẳng AM, EQ, FP đồng quy.
b. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC của (A; AB) để diện tích tam giác APQ nhỏ nhất. Tính giá trị đó theo a.
Câu 5:
Từ một đa giác đều 15 đỉnh, ta chọn ra 7 đỉnh bất kỳ. Chứng minh rằng có 3 đỉnh trong số các đỉnh đã chọn là 3 đỉnh của một tam giác cân.
- Hết -