Chủ đề này có 1 trả lời

[dangqxdang]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

M = $\frac{a+1}{a^{2}+2a+2}+\frac{b+1}{b^{2}+2b+2}+\frac{c+1}{c^{2}+2c+2}$

[nmtuan2001]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = 2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = $\frac{a+1}{a^{2}+2a+2}+\frac{b+1}{b^{2}+2b+2}+\frac{c+1}{c^{2}+2c+2}$

Đk tương đương với $\sum \frac{1}{(a+1)(b+1)}=1$.
Đặt $x=\frac{1}{a+1}, y=\frac{1}{b+1}, z=\frac{1}{c+1}$. Ta có $xy+yz+zx=1$.
$$M=\sum \frac{a+1}{(a+1)^2+1}=\sum \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=\sum \frac{x}{x^2+1}$$
$$=\sum \frac{x}{x^2+xy+yz+zx}=\sum \frac{x}{(x+y)(x+z)}=\frac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}=\frac{2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$
Mà $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=\frac{8(x+y+z)}{9} \geq \frac{8\sqrt{3(xy+yz+zx)}}{9}=\frac{8\sqrt{3}}{9}$.
Do đó $M \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$.