Chủ đề này có 2 trả lời

[anhtuan962002]

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp$(O)$ đường thẳng qua $O$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Gọi $I,P,Q$ lần lượt là trung điểm $MN,BN,CM$. Chứng minh $O,I,P,Q$ nằm trên một đường tròn

 

[Minhcamgia]

Lời giải của mình như sau:
Gọi $CE,BD$ lần lượt là đường kính của $(O)$. $S$ là giao của $EM$ và $(O)$, $N'$ là giao của $SD$ với $AC$. Ta sẽ chứng minh $M,O,N'$ thẳng hàng, từ đó suy ra $N \equiv N'$.

Thật vậy gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $MN$, khi đó dễ thấy $EBCD$ là hình chữ nhật, suy ra $\angle ESD = \angle BAC = \angle MA'N' \Rightarrow $ tứ giác $MA'SN'$ là tứ giác nội tiếp, suy ra $\angle A'SN' = 180^o -  \angle A'MN' = 180^o - \angle AMN' = 180 - \angle A'AD \Rightarrow AA'SD$ nội tiếp, từ đó suy ra $A'$ thuộc đường tròn Suy ra $O,M,N'$ cùng thuộc trung trực của $AA'$ suy ra $O,M,N'$ thẳng hàng, suy ra  $N \equiv N$.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 30-03-2018 - 18:39

[Minhcamgia]

Tiếp theo như sau ( sau khi đã chứng minh được $M,N,O$ thẳng hàng).

Dễ thấy $IP \parallel AB ; IQ \parallel AC \Rightarrow \angle PIQ = \angle BAC$. Do $OQ \parallel EM; OP \parallel DN \Rightarrow \angle POQ = \angle ESD $ mà $S$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$ (đã chứng minh ở trên) nên $\angle ESD = \angle BAC \Rightarrow \angle POQ = \angle PIQ \Rightarrow PIOQ$ nội tiếp (điều phải chứng minh).

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 30-03-2018 - 18:51