3 replies to this topic

[tr2512]

Bài toán tặng THCS: cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c=0$. Chứng minh:

$\frac{{a\left( {a + 2} \right)}}{{2{{\rm{a}}^2} + 1}} + \frac{{b\left( {b + 2} \right)}}{{2{b^2} + 1}} + \frac{{c\left( {c + 2} \right)}}{{2{c^2} + 1}} \ge 0$

[DOTOANNANG]

$$3\,a^{\,2}\,=\, 2\,a^{\,2}\,+\, \left ( \,b\,+\, c\, \right )^{\,2}\,\leq \, 2\,\left ( \,a^{\,2}\,+\, b^{\,2}\,+\, c^{\,2}\, \right )$$

 

$$3\,b^{\,2}\,=\, 2\,b^{\,2}\,+\, \left ( \,c\,+\, a\, \right )^{\,2}\,\leq \, 2\,\left ( \,a^{\,2}\,+\, b^{\,2}\,+\, c^{\,2}\, \right )$$

 

$$3\,c^{\,2}\,=\, 2\,c^{\,2}\,+\, \left ( \,a\,+\, b\, \right )^{\,2}\,\leq \, 2\,\left ( \,a^{\,2}\,+\, b^{\,2}\,+\, c^{\,2}\, \right )$$

 

$$\left [\, \frac{\,a\,(\,a\,+\,2\,)}{2\,a^{\,2}\,+\,1}\,+\,1 \,\right ]\,+\,\left [ \,\frac{\,b\,(\,b\,+\,2\,)}{2\,b^{\,2}\,+\,1}\,+\,1 \,\right ]\,+\,\left [\, \frac{\,c\,(\,c\,+\,2\,)}{2\,c^{\,2}\,+\,1}\,+\,1\, \right ]$$

 

$$\geq \frac{3\,(\,2\,a\,+\,1\,)^{\,2}}{4\,(\,a^{\,2}\,+\,b^{\,2}\,+\,c^{\,2}\,)\,+\,3}\,+\,\frac{3\,(\,2\,a\,+\,1)^{\,2}}{4\,(\,a^{\,2}\,+\,b^{\,2}\,+\,c^{\,2})\,+\,3}\,+\,\frac{3\,(\,2\,a\,+\,1)^{\,2}}{4\,(a^{\,2}\,+\,b^{\,2}\,+\,c^{\,2})\,+\,3}\,=\,3$$

[Leuleudoraemon]

 

 

$$\left [\, \frac{\,a\,(\,a\,+\,2\,)}{2\,a^{\,2}\,+\,1}\,+\,1 \,\right ]\,+\,\left [ \,\frac{\,b\,(\,b\,+\,2\,)}{2\,b^{\,2}\,+\,1}\,+\,1 \,\right ]\,+\,\left [\, \frac{\,c\,(\,c\,+\,2\,)}{2\,c^{\,2}\,+\,1}\,+\,1\, \right ]$$

 

$$\geq \frac{3\,(\,2\,a\,+\,1\,)^{\,2}}{4\,(\,a^{\,2}\,+\,b^{\,2}\,+\,c^{\,2}\,)\,+\,3}\,+\,\frac{3\,(\,2\,a\,+\,1)^{\,2}}{4\,(\,a^{\,2}\,+\,b^{\,2}\,+\,c^{\,2})\,+\,3}\,+\,\frac{3\,(\,2\,a\,+\,1)^{\,2}}{4\,(a^{\,2}\,+\,b^{\,2}\,+\,c^{\,2})\,+\,3}\,=\,3$$

chỗ này anh, em biến đổi mà lại ra $\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)+9}{4(a^2+b^2+c^2)+3}$

[DOTOANNANG]

chỗ này anh, em biến đổi mà lại ra $\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)+9}{4(a^2+b^2+c^2)+3}$

Cảm ơn em, anh nhớ là bài này phải nhân cả tử và mẫu với 3, nhưng chắc là trước đó phải cộng thêm một số nào đó rồi mới biến đổi, nhưng dù sao kết quả vẫn y chang hàng cuối của anh thôi. Thành thật xin lỗi.