Chủ đề này có 1 trả lời

[burning123]

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $5^x.3^y+1=z(3z+2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi burning123: 10-04-2018 - 17:12

[Tea Coffee]

Ta có: $5^{x}.3^{y}+1=z(3z+2)<=>5^{x}.3^{y}=3z^{2}+2z-1<=>5^{x}.3^{y}=(3z-1)(z+1)$

$=>(3z-1)(z+1)\vdots 3^{y}$ mà $(3z-1,3)=1=>z+1\vdots 3^{y}$

Đặt $z+1=3^{y}.k(k\epsilon \mathbb{Z}^{+})=>5^{x}.3^{y}=(3z-1).3^{y}.k<=>5^{x}=(3z-1).k=>\left\{\begin{matrix}3z-1=5^{m} \\ k=5^{n} \end{matrix}\right. (m,n\epsilon \mathbb{N})$

+) Nếu $n\geq 1=>5^{n}\vdots 5=>z+1\vdots 5=>z\equiv 4(mod5)=>3z-1\equiv 1(mod5)=>5^{m}\equiv 1(mod5)=> m=0=>3z-1=5^{m}=1<=>z=\frac{2}{3}$ vô lý

$=>n=0=>k=1=>\left\{\begin{matrix}z+1=3^{y} \\ 3z-1=5^{x} \end{matrix}\right. =>3^{y+1}=5^{x}+4$

+) Nếu $y$ chẵn 

Do $3\equiv -1(mod4)=>3^{y+1}\equiv -1(mod4)$

Mà $5^{x}+4\equiv 1(mod4)$ nên mâu thuẫn

$=>y=2k+1(k\epsilon \mathbb{N})=>(3^{k+1})^{2}=5^{x}+4<=>(3^{k+1}-2)(3^{k+1}+2)=5^{x}=> \left\{\begin{matrix}3^{k+1}-2=5^{e} \\ 3^{k+1}+2=5^{f} \end{matrix}\right. (e,f\epsilon \mathbb{N};f> e;e+f=x) =>5^{f}-5^{e}=4<=>5^{e}(5^{f-e}+1)=4...$

Đến đây là phương trình ước số nên dễ rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 11-04-2018 - 00:07