Cho $x,y,z>0$ thoả mãn x+y+z=9. Chứng minh rằng $\sum \frac{x^3+y^3}{xy+9} \geq 9$
$\sum \frac{x^3+y^3}{xy+9} \geq 9$
Bắt đầu bởi melodias2002, 15-04-2018 - 01:33
#2
Đã gửi 16-05-2021 - 13:37
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$, ta được: $\frac{x^3+y^3}{xy+9}\geqslant \frac{\frac{(x+y)^3}{4}}{\frac{(x+y)^2}{4}+9}=\frac{(x+y)^3}{(x+y)^2+36}=(x+y)-\frac{36(x+y)}{(x+y)^2+36}\geqslant(x+y)-\frac{36(x+y)}{12(x+y)} =x+y-3$
Tương tự rồi cộng lại, ta có: $\frac{x^3+y^3}{xy+9}+\frac{y^3+z^3}{yz+9}+\frac{z^3+x^3}{zx+9}\geqslant 2(x+y+z)-9=9(\text{Q.E.D})$
Đẳng thức xảy ra khi $\text{x=y=z=3}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
