Chủ đề này có 3 trả lời

[meninblack]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$.

Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meninblack: 15-04-2018 - 16:56

[trieutuyennham]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$.

Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Từ đk suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$VT\leq \frac{1}{36}.(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c})\leq \frac{1}{6}$

[meninblack]

Từ đk suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có

$VT\leq \frac{1}{36}.(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c})\leq \frac{1}{6}$

Bạn ơi bạn làm rõ hơn bước suy ra đk như trên dc k? Tks bạn

[KietLW9]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn $3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$.

Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq \frac{1}{6}$

Ta có: $3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geqslant 4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2$

Đặt $t=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ thì ta có $4t^2\leqslant 3+t\Leftrightarrow (4t+3)(t-1)\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{-3}{4}\leqslant t\leqslant 1$

Do đó: $VT\leq \frac{1}{36}.(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c})\leq \frac{1}{6}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$