1) Chứng minh rằng nếu hàm $f$ liên tục trên hộp đóng $[a,b]\times [c,d]$ thì hàm $F(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)dx$ liên tục trên $[c,d]$.
2) Cho tập hợp A xác định như sau:
$A=\{(2^{-m}p,2^{-m}q):m\in\mathbb{Z}^{+}$ và $p,q$ là các số nguyên lẻ $\}.$
Xét hàm số
$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 1 &, (x,y)\in A, \\ 0 &, (x,y)\notin A. \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng hàm $f$ không khả tích trên bất kì hình chữ nhật $B = [a,b] \times [c,d] (a<b,c<d)$ nào, nhưng hai tích phân lặp của $f$ trên $B$ đều tồn tại.
3) Cho $r>0$ và $B_{r}=[0,r]\times [0,r].$ Tính giới hạn sau bằng hai cách
$I(a)=\lim_{r \to +\infty}\int_{B_{r}}\sin{(ax)}e^{-xy}d(x,y)$
để chứng minh rằng
$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{ax}}{x}=\frac{\pi}{2}$, $a>0$.
