Chủ đề này có 2 trả lời

[use your brains]

Cho x,y,z là các số thực dương thuộc [1;4] và x=max{x,y,z}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=$\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

[trieutuyennham]

Cho x,y,z là các số thực dương thuộc [1;4] và x=max{x,y,z}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=$\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

Ta có

$P=\frac{1}{2+3\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Đặt $\frac{x}{z}=a;\frac{z}{y}=b;\frac{y}{x}=c\Rightarrow \left\{\begin{matrix} abc=1\\ ab\geq 1\\ c\in [\frac{1}{4};1] \end{matrix}\right.$

Do $ab\geq 1$ nên $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}+1}$

$\Rightarrow P\geq \frac{1}{2+3c}+\frac{2}{\sqrt{ab}+1}=\frac{1}{2+3c}+\frac{2\sqrt{c}}{\sqrt{c}+1}$ 

đến đây thì đơn giản rồi

[DOTOANNANG]

https://diendantoanh...view=getnewpost

 

Cách 2:

 

Do $1\leqq x,\,y,\,z\,\leqq 4$ nên tồn tại $x\,= ay,\,x\,= bz$ với $1\leqq a,\,b\,\leqq 4$

 

Khi đó: $f= f\left ( a,\,b \right )= \frac{a}{2a+ 3}+ \frac{b}{a+ b}+ \frac{1}{1+ b}\geqq \frac{34}{33}$

 

Ta có: 

 

$f\left ( a,\,b \right )- f\left ( 4,\,b \right )= \frac{\left ( 4-a \right )\left ( 19\,ab- 12\,a- 3\,b^{2}+ 21\,b \right )}{11\,\left (2\,a+ 3 \right )\,\left ( b+4 \right )\,\left ( a+ b \right )}\geqq 0$

 

Điều này đúng vì với mọi $1\leqq a,\,b\,\leqq 4$ thì:

 

$25\leqq 19\,ab-12\,a-3\,b^{2}+ 12\,b\leqq 292$

 

Và:

 

$f\left ( 4,\,b \right )- \frac{34}{33}= \frac{4}{11}+ \frac{b}{4+ b}+ \frac{1}{1+ b}- \frac{34}{33}= \frac{\left ( b-2 \right )^{2}}{3\,\left ( b+ 1 \right )\,\left ( b+ 4 \right )}\geqq 0$