Bài $43$: Cho $\triangle ABC$ nhọn, đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn đường kính $AB$ cắt $CE$ tại $G$, đường tròn đường kính $AC$ cắt $BD$ tại $F$. $CF$ cắt $BG$ tại $I$, $DG$ cắt $EF$ tại $K$.
a, Chứng minh $3$ điểm A,I,K cùng nằm trên đường trung trực của FG .
b, Giả sử $EF$ cắt $BG$ tại $M$, $DG$ cắt $CF$ tại $N$. Chứng minh $HI, EN, DM$ đồng quy.
Lời giải phần $b$ (có dùng định lí $Menelaus$ và định lí $sin$ trong tam giác)
Gọi $EN$ cắt $HI$ tại $P$. Ta chứng minh $M, P, D$ thẳng hàng.
$\widehat{FMI}=\widehat{IGN}=\widehat{ABC}$, chứng minh được $\triangle FMI =\triangle GNI (g.c.g) \rightarrow MI=NI; \widehat{FMI}=\widehat{ING}$
Ta có:
$\frac{BM}{BE}=\frac{sin \widehat{BEF} }{sin \widehat{BME}}=\frac{sin \widehat{ACF} }{sin \widehat{FMI}}$
$\frac{CD}{CN}=\frac{sin \widehat{CND} }{sin \widehat{CDG}}=\frac{sin \widehat{ING} }{sin \widehat{ABG}}$
Nên:
$\frac{BM}{BE}.\frac{CD}{CN}=\frac{sin \widehat{ACF} }{sin \widehat{FMI}}.\frac{sin \widehat{ING} }{sin \widehat{ABG}}=\frac{sin \widehat{ACF} }{sin \widehat{ABG}}$
$\Leftrightarrow \frac{BM}{BE}.\frac{CD}{CN}=\dfrac{(\dfrac{AF}{AC})}{(\dfrac{AG}{AB})}=\frac{AB}{AC}$
$\Leftrightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.\frac{BE}{CD}$
$\Leftrightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{HE}{EC}.\frac{DB}{HD}$
$\Leftrightarrow \frac{HD}{DB}.\frac{BM}{MI}=\frac{HE}{EC}.\frac{CN}{NI}$ (sử dụng $MI=NI$)
$\Leftrightarrow \frac{IP}{PH}.\frac{HD}{DB}.\frac{BM}{MI}=1$ (theo định lí $Menelaus$ có $\frac{HE}{EC}.\frac{CN}{NI}.\frac{PI}{PH}=1$)
$\Leftrightarrow $ $M,D,P$ thẳng hàng. Bài toán được chứng minh.
Edited by phamhuy1801, 18-05-2018 - 00:05.