Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên biểu diễn được dưới dạng $x^{2}+3y^{2}$ với $x, y$ là các số nguyên. Chứng minh các tính chất sau đây của $S$

1. Nếu $m\in S, n\in S$ thì $mn\in S.$

2. Nếu $N\in S$ và $N$ $\vdots$ $2$ thì $\frac{N}{4}\in S.$

3. Nếu $N\in S,$ số nguyên tố $p\in S$ và $N$ $\vdots$ $p$ thì $\frac{N}{p}\in S.$

4. Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+1.$ Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $N$ sao cho $N^{2}+3$ chia hết cho $p.$ Từ đó suy ra $p\in S.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 11-05-2018 - 15:19

[Duy Thai2002]

Câu 1 Giả sử $m=a^{2}+3b^{2},n=c^{2}+3d^{2}$. Khi đó:

$mn=(a^{2}+3b^{2})(c^{2}+3d^{2})=(ac+3bd)^{2}+3(ad-bc)^{2}$

Vậy $mn\in S$