Chủ đề này có 7 trả lời

[Korkot]

Cho x,y,z,t là các số thỏa $(x-1)^2 + (y-1)^2+ (z-3)^2+(t-2)^2=0$ .Tìm GTNN của $(x-y)^2 + (z-t)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 15-05-2018 - 22:33

[chanhquocnghiem]

Cho x,y,z,t là các số thỏa $(x-1)^2 + (y-1)^2+ (z-3)^2+(t-2)^2=0$ .Tìm GTNN của $(x-y)^2 + (z-t)^2$

$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-3)^2+(t-2)^2=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y=1\\z=3\\t=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(z-t)^2=1$ (là hằng số)

[Korkot]

Sorry mình gõ lộn đề : Cho x,y,z,t là các số thỏa $(x-1)^2 + (y-1)^2+ (z-3)^2+(t-2)^2=1$ .Tìm GTNN của $(x-y)^2 + (z-t)^2$

[chanhquocnghiem]

Sorry mình gõ lộn đề : Cho x,y,z,t là các số thỏa $(x-1)^2 + (y-1)^2+ (z-3)^2+(t-2)^2=1$ .Tìm GTNN của $(x-y)^2 + (z-t)^2$

$(x-y)^2+(z-t)^2\geqslant 0$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y=1\\z=t=2 \end{matrix}\right.$

[Korkot]

$(x-y)^2+(z-t)^2\geqslant 0$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=y=1\\z=t=2 \end{matrix}\right.$

Dạo này mình bị sao ấy. Lần nữa đề lại sai

Cho x,y,z,t là các số thỏa $(x-1)^2 + (y-4)^2+ (z-3)^2+(t-2)^2=1$ .Tìm GTNN của $(x-y)^2 + (z-t)^2$

[chanhquocnghiem]

Dạo này mình bị sao ấy. Lần nữa đề lại sai

Cho x,y,z,t là các số thỏa $(x-1)^2 + (y-4)^2+ (z-3)^2+(t-2)^2=1$ .Tìm GTNN của $(x-y)^2 + (z-t)^2$

Đặt $(x-1)^2+(y-4)^2=U$ ; $(z-3)^2+(t-2)^2=V$ ($0\leqslant U,V\leqslant 1$ và $U+V=1$)

      $|x-1|=a$ ; $|y-4|=b\Rightarrow a^2+b^2=U$ ($0\leqslant a,b\leqslant 1$)

$\Rightarrow |x-y|\geqslant |(1+a)-(4-b)|=3-(a+b)=3-\sqrt{a^2+b^2+2ab}\geqslant 3-\sqrt{2(a^2+b^2)}=3-\sqrt{2U}$ (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b$)

Tương tự, đặt $|z-3|=c$ ; $|t-2|=d\Rightarrow c^2+d^2=V$ ($0\leqslant c,d\leqslant 1$)

Ta cũng có $|z-t|\geqslant |1-\sqrt{2V}|$ (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $c=d$)

$\Rightarrow (x-y)^2+(z-t)^2\geqslant (3-\sqrt{2U})^2+(1-\sqrt{2V})^2=10+2U+2V-(6\sqrt{2U}+2\sqrt{2V})$

$=12-(6\sqrt{2U}+2\sqrt{2V})$

Chú ý rằng $(6\sqrt{2U}+2\sqrt{2V})^2\leqslant (72+8)(U+V)=80$ (BĐT Bunyakovsky, dấu bằng xảy ra khi $U=9V$)

Vậy $(x-y)^2+(z-t)^2\geqslant 12-\sqrt{80}=12-4\sqrt5$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}U=\frac{9}{10}\\V=\frac{1}{10}\\a=b\\c=d \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1+\frac{3\sqrt5}{10}\\y=4-\frac{3\sqrt5}{10}\\z=3-\frac{\sqrt5}{10}\\t=2+\frac{\sqrt5}{10} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-05-2018 - 11:56

[Korkot]

Đặt $(x-1)^2+(y-4)^2=U$ ; $(z-3)^2+(t-2)^2=V$ ($0\leqslant U,V\leqslant 1$ và $U+V=1$)

      $|x-1|=a$ ; $|y-4|=b\Rightarrow a^2+b^2=U$ ($0\leqslant a,b\leqslant 1$)

$\Rightarrow |x-y|\geqslant |(1+a)-(4-b)|=3-(a+b)\geqslant 3-\sqrt{a^2+b^2+2ab}\geqslant 3-\sqrt{2(a^2+b^2)}=3-\sqrt{2U}$ (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b$)

Tương tự, đặt $|z-3|=c$ ; $|t-2|=d\Rightarrow c^2+d^2=V$ ($0\leqslant c,d\leqslant 1$)

Ta cũng có $|z-t|\geqslant |1-\sqrt{2V}|$ (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $c=d$)

$\Rightarrow (x-y)^2+(z-t)^2\geqslant (3-\sqrt{2U})^2+(1-\sqrt{2V})^2=10+2U+2V-(6\sqrt{2U}+2\sqrt{2V})$

$=12-(6\sqrt{2U}+2\sqrt{2V})$

Chú ý rằng $(6\sqrt{2U}+2\sqrt{2V})^2\leqslant (72+8)(U+V)=80$ (BĐT Bunyakovsky, dấu bằng xảy ra khi $U=9V$)

Vậy $(x-y)^2+(z-t)^2\geqslant 12-\sqrt{80}=12-4\sqrt5$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}U=\frac{9}{10}\\V=\frac{1}{10}\\a=b\\c=d \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1+\frac{3\sqrt5}{10}\\y=4-\frac{3\sqrt5}{10}\\z=3-\frac{\sqrt5}{10}\\t=2+\frac{\sqrt5}{10} \end{matrix}\right.$

Anh giải thích dòng màu đỏ rõ hơn một chút được không ạ?

[chanhquocnghiem]

Anh giải thích dòng màu đỏ rõ hơn một chút được không ạ?

Đặt $|x-1|=a$ thì có thể $x=1+a$ hoặc $x=1-a$ ; đặt $|y-4|=b$ thì có thể $y=4+b$ hoặc $y=4-b$. Do đó :

$|x-y|$ có thể là 1 trong 4 giá trị sau :

$|(1+a)-(4+b)|=|-3+a-b|=|3-a+b|=3-a+b$

$|(1+a)-(4-b)|=|-3+a+b|=|3-a-b|=3-(a+b)$ (vì $3> a+b$)

$|(1-a)-(4+b)|=|-3-a-b|=3+a+b$

$|(1-a)-(4-b)|=|-3-a+b|=|3+a-b$

Trong đó GTNN là $|(1+a)-(4-b)|=3-(a+b)$

Vậy $|x-y|\geqslant |(1+a)-(4-b)|=3-(a+b)$

Tiếp tục : $3-(a+b)=3-\sqrt{a^2+b^2+2ab}\geqslant 3-\sqrt{2(a^2+b^2)}$ (vì $2ab\leqslant a^2+b^2$)

Do đó $|x-y|\geqslant 3-\sqrt{2(a^2+b^2)}=3-\sqrt{2U}$

(Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2ab=a^2+b^2$ hay $a=b$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-05-2018 - 13:20