Chủ đề này có 1 trả lời

[Korkot]

Cm không tồn tại một dãy tăng thực sự các số nguyên $\geq 0$ $a_{1}; a_{2};...$ sao cho mọi số tự nhiên m,n đều có $a_{mn}=a_{m}+a_{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 16-05-2018 - 14:52

[YoLo]

Cm không tồn tại một dãy tăng thực sự các số nguyên $\geq 0$ $a_{1}; a_{2};...$ sao cho mọi số tự nhiên m,n đều có $a_{mn}=a_{m}+a_{n}$

 LATEX XUẤT HIỆN LỖI

Giả sử tồn tại dãy tăng đó tức là với bộ i<j thì a_i<a_j

Xét chỉ số nguyên dương $k$ đủ bé tùy ý

Khi đó $a_{1}+a_{k}=a_{k};a_{2}+a_{k-1}=a_{2(k-1)}$

dễ thấy $k$<$2(k-1)$ => $a_{k}<$a_{2(k-1)}$

=>$a_{1}+a_{k}$<$a_{2}+a_{k-1}$

=>$a_{k}-a_{k-1}$<$a_{2}-a_{1}$ => $a_{k}-a_{k-1}$ giảm thực sự so với $a_{2}-a_{1}$

như vậy nếu ta có $a_{2}-a_{1}=m$ ($m$ là số hữu hạn nào đó) => $m$ giảm thực sự

thì đến 1 lúc nào đó tồn tại  2 chỉ số mà $a_{n+1}-a_{n}\leq 0$ (tức là lúc đấy m đã giảm về 0 hoặc nhỏ hơn)

=> mâu thuẫn với giả sử