Chủ đề này có 4 trả lời

[Le Hoang Anh Tuan]

1)a,b,c>0, CMR:

$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}b)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

2, Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy+xz+yz=xyz

CMR: $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 14-05-2021 - 08:13

[KietLW9]

1)a,b,c>0, CMR:

$\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}b)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

Chia hai vế của bất đẳng thức cho $abc$, ta được: $\sqrt{(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})}\geqslant 1+\sqrt[3]{(\frac{a^2}{bc}+1)(\frac{b^2}{ca}+1)(\frac{c^2}{ab}+1)}$

Đặt $\sqrt[3]{(\frac{a^2}{bc}+1)(\frac{b^2}{ca}+1)(\frac{c^2}{ab}+1)}=t$ thì $t\geqslant 2$ và ta cần chứng minh $\sqrt{t^3+1}\geqslant t+1\Leftrightarrow t(t-2)(t+1)\geqslant 0$ (đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[KietLW9]

2, Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy+xz+yz=xyz

CMR: $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Lời giải. Ta có: $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}=\sqrt{\frac{x^2+xyz}{x}}+\sqrt{\frac{y^2+xyz}{y}}+\sqrt{\frac{z^2+xyz}{z}}=\sqrt{\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}}+\sqrt{\frac{y^2+xy+yz+zx}{y}}+\sqrt{\frac{z^2+xy+yz+zx}{z}}=\sqrt{\frac{(x+y)(x+y)}{x}}+\sqrt{\frac{(y+z)(y+x)}{y}}+\sqrt{\frac{(z+x)(z+y)}{z}}$

Ta cần chứng minh: $\sqrt{\frac{(x+y)(x+y)}{x}}+\sqrt{\frac{(y+z)(y+x)}{y}}+\sqrt{\frac{(z+x)(z+y)}{z}}\geqslant \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

$\Leftrightarrow \sqrt{yz(x+y)(x+z)}+\sqrt{zx(y+z)(y+x)}+\sqrt{xy(z+x)(z+y)}\geqslant xyz+x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo Cauchy-Schwarz nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=3$

[Hunghcd]

Lời giải. Ta có: $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}=\sqrt{\frac{x^2+xyz}{x}}+\sqrt{\frac{y^2+xyz}{y}}+\sqrt{\frac{z^2+xyz}{z}}=\sqrt{\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}}+\sqrt{\frac{y^2+xy+yz+zx}{y}}+\sqrt{\frac{z^2+xy+yz+zx}{z}}=\sqrt{\frac{(x+y)(x+y)}{x}}+\sqrt{\frac{(y+z)(y+x)}{y}}+\sqrt{\frac{(z+x)(z+y)}{z}}$

Ta cần chứng minh: $\sqrt{\frac{(x+y)(x+y)}{x}}+\sqrt{\frac{(y+z)(y+x)}{y}}+\sqrt{\frac{(z+x)(z+y)}{z}}\geqslant \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

$\Leftrightarrow \sqrt{yz(x+y)(x+z)}+\sqrt{zx(y+z)(y+x)}+\sqrt{xy(z+x)(z+y)}\geqslant xyz+x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo Cauchy-Schwarz nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=3$

Một hướng khác:

VT=$\sum \sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{x}}\geq \sum \sqrt{\frac{(x+\sqrt{yz})^2}{x}}\doteq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}$=VP

Bạn có thể nói rõ hơn dùng Cauchy-Schwarz sao ko?Mình ko hiểu lắm

[KietLW9]

Một hướng khác:

VT=$\sum \sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{x}}\geq \sum \sqrt{\frac{(x+\sqrt{yz})^2}{x}}\doteq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}$=VP

Bạn có thể nói rõ hơn dùng Cauchy-Schwarz sao ko?Mình ko hiểu lắm

Cụ thể. 

Theo Cauchy-Schwarz, ta có: $\sqrt{yz(x+y)(x+z)}+\sqrt{zx(y+z)(y+x)}+\sqrt{xy(z+x)(z+y)}=\sqrt{(xy+y^2)(zx+z^2)}+\sqrt{(yz+z^2)(xy+x^2)}+\sqrt{(xz+x^2)(yz+y^2)}\geqslant x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}+xy+yz+zx=x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}+xyz$