Chủ đề này có 2 trả lời

[NguyenHieuNghia]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=11$. Tìm GTNN của P=$(x^{3}+y^{3}+z^{3})(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}})$

[PugMath]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=11$. Tìm GTNN của P=$(x^{3}+y^{3}+z^{3})(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}})$

$(x^3+y^3+z^3)(1+1+1)(1+1+1)(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})(1+1+1)(1+1+1)\geqslant (x+y+z)^3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^3=11^3=>3^4P\geqslant 11^3=>P\geqslant \frac{11^4}{3^4}$

cái này áp dụng bđt holder nha 

[DOTOANNANG]

Ta có:

$$P=\left \{ x^{3}+ y^{3}+ z^{3} \right \}\left \{ \frac{1}{x^{3}}+ \frac{1}{y^{3}}+ \frac{1}{z^{3}} \right \}\geqq 41$$

 

Đẳng thức xảy ra khi: $x= \frac{2\,y}{3- \sqrt{5}}= \frac{2\,z}{3+ \sqrt{5}}$

 

Cụ thể hơn, đặt: $\mu , \,\nu = \left ( \frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x} \right ),\,\left ( \frac{y}{x}+ \frac{z}{y}+ \frac{x}{z} \right )$

 

Khi đó, ta có:

$\left ( \frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x} \right )^{3}+ 3= \sum\limits_{cycl}\frac{x^{3}}{y^{3}}+ 3\left ( \frac{x}{y}+ \frac{y}{z}+ \frac{z}{x} \right )\left ( \frac{y}{x}+ \frac{z}{y}+ \frac{x}{z} \right )$

 

Tương đương: $\mu ^{3}+ 3= \sum\limits_{cycl}\frac{x^{3}}{y^{3}}+ 3\,\mu \nu $ & $\nu ^{3}+ 3= \sum\limits_{cycl}\frac{y^{3}}{x^{3}}+ 3\,\mu \nu $

 

Còn việc chứng minh:

$$P-3= \sum\limits_{symm}\frac{x^{3}}{y^{3}}= \underbrace{\mu ^{3}+ \nu ^{3}- 6\,\mu \nu + 6}_{\prod\limits_{cyc}\frac{1}{x}\prod\limits_{cyc}x= 11\Leftarrow \mu + \nu= 8 }\geqq \underbrace{32+ 6}_{=38}$$