4 replies to this topic

[KemQue]

Mong mọi người giúp đỡ:

1. Biết pt $ax^3+14x^2+2x+2011=0$ có 3 nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm của pt $4(ax^3+14x^2+2x+2011)(3ax+14)=(3ax^2+28x+2)^2$.

2. Tìm n sao cho đa thức $(x+1)^n+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$.

3. Cho $m,n \in \mathbb{Z}$ và $m,n \ge 2$. CMR các đa thức:

$$ f(x)=1+x+x^2+...+x^{m-1}$$

$$ g(x)=1+x+x^2+...+x^{n-1}$$

là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Edited by KemQue, 09-06-2018 - 13:56.

[YoLo]

3. Cho $m,n \in \mathbb{Z}$ và $m,n \ge 2$. CMR các đa thức:

$$ f(x)=1+x+x^2+...+x^{m-1}$$

$$ g(x)=1+x+x^2+...+x^{n-1}$$

là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ta viết lại $f(x)=\frac{x^{m}-1}{x-1};g(x)=\frac{x^{n}-1}{x-1}$

Vậy ta chứng minh $(m,n)=1\Leftrightarrow (x^{m}-1,x^{n}-1)=x-1$

Gọi $D(x)$ là ước chung lớn nhất của $x^{m}-1$ và $x^{n}-1$

Có $(m,n)=1$ khi đó $\exists u,v$ là các số nguyên dương sao cho $mu-nv=1$ hay $mv-nu=1$

Xét 1 TH : TH kia hoàn toàn tương tự

có $x^{m}-1\vdots D(x)\Rightarrow x^{mu}-1\vdots D(x)\Rightarrow x^{nv+1}-1\vdots D(x)\Rightarrow x(x^{nv}-1)+x-1\vdots D(x)$ (vì $mu=nv+1$)

mà $x^{n}-1\vdots D(x)\Rightarrow x^{nv}-1\vdots D(x)\Rightarrow x-1\vdots D(x)\Rightarrow D(x)=x-1$

=> đpcm

Chiều ngược lại đơn giản rồi $(m,n)=d\Rightarrow (x^{m}-1;x^{n}-1)=x^{d}-1\Rightarrow d=1$

P/s: Dấu $\vdots$ ở đây mk dùng hơi bừa bãi chỉ là cho nhanh thôi chứ đánh ra "chia hết cho" lâu lắm

Edited by YoLo, 09-06-2018 - 22:27.

[YoLo]

2. Tìm n sao cho đa thức $(x+1)^n+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$.

Chắc $n$ nguyên dương nhỉ

Có $f(x)=(x+1)^{n}+x^{n}+1=(x^{2}+x+1).Q(x)$

Có $x^{2}+x+1=0$ có 2 nghiệm phức là $x_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;x_{2}=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

suy ra $f(x_{1})=0;f(x_{2})=0$

=> $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

và $(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

từ 2 cái này ta có thể dễ dàng suy ra $n$ chẵn (phản chứng $n$ lẻ thì vô lý)

khi $n$ chẵn viết lại được thành $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+1=0$

mà theo Vi-ét $x_{1}+x_{2}=-1;x_{1}.x_{2}=1$

=> $n=2$

Edited by YoLo, 09-06-2018 - 23:23.

[KemQue]

Chắc $n$ nguyên dương nhỉ

Có $f(x)=(x+1)^{n}+x^{n}+1=(x^{2}+x+1).Q(x)$

Có $x^{2}+x+1=0$ có 2 nghiệm phức là $x_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;x_{2}=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

suy ra $f(x_{1})=0;f(x_{2})=0$

=> $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

và $(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

từ 2 cái này ta có thể dễ dàng suy ra $n$ chẵn (phản chứng $n$ lẻ thì vô lý)

khi $n$ chẵn viết lại được thành $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+1=0$

mà theo Vi-ét $x_{1}+x_{2}=-1;x_{1}.x_{2}=1$

=> $n=2$

$x_1^n+x_2^n$ chắc gì đã bằng $-1$. Bạn có thể thử với $n=6$ khi đó $x_1^6+x_2^6=2$.

Nếu dùng cách này thì mình làm r. Tới đây ta đưa $x_1,x_2$ về dạng lượng giác $x_1=cos \frac{2\pi}3+i sin\frac{2\pi}3 , \ x_2=cos \frac{-2\pi}3+i sin\frac{-2\pi}3$

Từ đây thế vào $f(x_{1})=0;f(x_{2})=0$ giải pt lượng giác suy ra được là $n=6k+2,\ n=6k+4 ,\ k\in \mathbb{N}$

Mình đang tìm cách không dùng số phức

Edited by KemQue, 10-06-2018 - 08:31.

[NHoang1608]

Bài 2: Giả sử phương trình $x^{2}+x+1=0$ có nghiệm phức $r$ ta chứng minh $(r+1)^{n}+r^{n}+1=0$

Mà $(r+1)^{n}+r^{n}+1=r^{2n}+r^{n}+1$ Bây h chứng minh đa thức $x^{2n}+x^{n}+1$ chia hết $x^{2}+x+1$. Đến đây xét $modulo 3$ của n ta nhóm hạng tử $x^{3}-1$ là bài toán giải quyết xong.