Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
#1
Đã gửi 09-06-2018 - 16:04
#2
Đã gửi 09-06-2018 - 17:10
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
Nhân cả 2 vế bất đẳng thức cho $a+b+c$ thì bất đẳng thức trở thành:
$$\dfrac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\dfrac{b(a^2+c^2)}{a+c}+\dfrac{a(b^2+c^2)}{b+c} \leq a^2+b^2+c^2$$
Chú ý ta có đẳng thức: $\dfrac{c(a^2+b^2)}{a+b}=ca+cb-\dfrac{2abc}{a+b}$
Từ đây viết bất đẳng thức lại thành:
$$a^2+b^2+c^2+2abc(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}) \geq 2(ab+bc+ca) $$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$$2(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}) \geq \dfrac{9}{a+b+c}$$
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c} \geq 2(ab+bc+ca)$$
Mà đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3.
Hoàn tất chứng minh.
Bất đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$ hoặc tại $a=b, c=0$ và các hoán vị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 14-06-2018 - 11:46
- duylax2412, MoMo123, Diepnguyencva và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 09-06-2018 - 21:03
- Tea Coffee, Diepnguyencva và buingoctu thích
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
#4
Đã gửi 11-06-2018 - 14:15
Đặt $x+ y- z,\,y+ z- x,\,z+ x- y= ab\left ( a+ b \right ),\,bc\left ( b+ c \right ),\,ca\left ( c+ a \right )$
Giả sử $a\geqq b\geqq c$. Ta có bất đẳng thức trên dưới dạng Vornicu-Schur:
$$x\left ( a- b \right )\left ( a- c \right )+ y\left ( b- c \right )\left ( b- a \right )+ z\left ( c- a \right )\left ( c- b \right )\geqq 0$$
Hiển nhiên đúng với $x- y= \frac{\left ( z+ x- y \right )- \left ( y+ z- x \right )}{2}= \frac{c\left ( a+ b+ c \right )\left ( a- b \right )}{2}\geqq 0$ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 11-06-2018 - 18:00
- Khoa Linh yêu thích
#5
Đã gửi 11-06-2018 - 20:08
2 dòng biến đổi cuối tui không hiểu
Slogan For today xD
#6
Đã gửi 12-06-2018 - 14:05
2 dòng biến đổi cuối tui không hiểu
chịu khó viết tất cả các biểu thức của tong rả vở rồi sẽ hiểu
- Khoa Linh và use your brains thích
#7
Đã gửi 14-06-2018 - 07:32
$$\frac{3\left ( \sum\limits_{cyc}a^{2} \right )}{\sum\limits_{cyc}a}- \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}+ b^{2}}{a+ b}= \left [ \underbrace{\frac{2\,ab\left ( a- b \right )^{2}}{\left ( a+ b+ c \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )}+ \frac{\left \{ ab\left ( a+ b+ 2\,c \right )+ a\left ( c^{2}- a^{2} \right )+ b\left ( c^{2}- b^{2} \right ) \right \}\left ( a- c \right )\left ( b- c \right )}{\left ( a+ b+ c \right )\prod\limits_{cyc}\left ( a+ b \right )}}_{c= \max\left \{ a,\,b,\,c \right \}} \right ]\geqq 0$$
#8
Đã gửi 17-06-2018 - 21:58
chịu khó viết tất cả các biểu thức của tong rả vở rồi sẽ hiểu
tks bạn do mình suy nghĩ chậm
Slogan For today xD
#9
Đã gửi 18-06-2018 - 07:25
Ta có bất đẳng thức sau hiển nhiên đúng:
$$\sum\limits_{perms} a^{2}b\left ( a- b \right )\geqq 0$$
Điều này dẫn tới:
$$3\left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\left ( a+ b \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )\geqq \left ( a+ b+ c \right )\left ( \sum\limits_{cyc}\left ( a^{2}+ b^{2} \right )\left ( a+ c \right )\left ( b+ c \right ) \right )$$
Chia $2$ vế cho $\left ( a+ b+ c \right )\left ( a+ b \right )\left ( b+ c \right )\left ( c+ a \right )$, ta được:
$$\frac{3\left ( \sum\limits_{cyc}a^{2} \right )}{\sum\limits_{cyc}a}\geqq \sum\limits_{cyc}\frac{a^{2}+ b^{2}}{a+ b}$$
#10
Đã gửi 06-04-2021 - 12:06
BĐT$\Leftrightarrow \frac{c(a^2+b^2)}{a+b}+\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}+\frac{b(c^2+a^2)}{c+a}\leqslant a^2+b^2+c^2$
$\Leftrightarrow \sum_{cyc}(\frac{c(a^2+b^2)}{a+b}-c^2)\leqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{ac(a-c)+bc(b-c)}{a+b}\leqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc}(ab(a-b)(\frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c}))\leqslant 0 \Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{-ab(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}\leqslant 0$ *đúng*
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 06-04-2021 - 12:07
- alexander123 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh