Chủ đề này có 3 trả lời

[tr2512]

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\sqrt{a^2+4bc}+\sqrt{b^2+4ac}+\sqrt{c^2+4ab} \geq \sqrt{a^2+b^2+c^2+14(ab+bc+ca)}$$

Nguồn: Không rõ

[binhnhaukhong]

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\sqrt{a^2+4bc}+\sqrt{b^2+4ac}+\sqrt{c^2+4ab} \geq \sqrt{a^2+b^2+c^2+14(ab+bc+ca)}$$

Nguồn: Không rõ

Giả sử $c= min${$a,b,c$}, ta có bổ đề sau:

 

$$\sqrt{(a^2+4bc)(b^2+4ac)}\geq ab+2c(a+b)$$

 

và $\sqrt{a^2+4bc}+\sqrt{b^2+4ac}\geq \sqrt{(a+b)^2+8c(a+b)}$

 

Tương tự ta có bài toán sau:

 

Cho các số thực $a,b,c$ không âm. Chứng minh rằng ta có BĐT sau:

 

$$\sqrt{a^2+9bc}+\sqrt{b^2+9ac}+\sqrt{c^2+9ab}\geq \sqrt{a^2+b^2+c^2+23(ab+bc+ac)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhnhaukhong: 23-06-2018 - 23:20

[tr2512]

Giả sử $c= min${$a,b,c$}, ta có bổ đề sau:

 

$$\sqrt{(a^2+4bc)(b^2+4ac)}\geq ab+2c(a+b)$$

 

và $\sqrt{a^2+4bc}+\sqrt{b^2+4ac}\geq \sqrt{(a+b)^2+8c(a+b)}$

 

Tương tự ta có bài toán sau:

 

Cho các số thực $a,b,c$ không âm. Chứng minh rằng ta có BĐT sau:

 

$$\sqrt{a^2+9bc}+\sqrt{b^2+9ac}+\sqrt{c^2+9ab}\geq \sqrt{a^2+b^2+c^2+23(ab+bc+ac)}$$

Nếu anh có thời gian anh có thể giải cụ thể cho em được không ạ, còn ý tưởng của anh là chính xác rồi

Bài toán tổng quát là

Cho 3 số thực không âm $a, b, c$ và một hằng số dương $k$. Chứng minh bất đẳng thức:

$$\sqrt{a^2+kbc}+\sqrt{b^2+kac}+\sqrt{c^2+kab} \geq \sqrt{a^2+b^2+c^2+min\{3k+2; k+4\sqrt{k}+2\}(ab+bc+ca)}$$

[DOTOANNANG]

Với $\it{k}= \it{2}$ thì $\it{:}$

$$\sqrt{\frac{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{2}\,\it{bc}}{\it{8}\it{(}\,\,\it{ab}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}+ \it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{c}^{\,\it{2}}}}\geqq \frac{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{ab}+ \it{ac}+ \it{3}\,\it{bc}}{\it{a}^{\,\it{2}}+ \it{b}^{\,\it{2}}+ \it{c}^{\,\it{2}}+ \it{5}\it{(}\,\,\it{ab}+ \it{bc}+ \it{ca}\,\,\it{)}}$$

$\lceil$  $\rfloor$