Xác định đa thức $f(x)$ thỏa mãn $(f(-1))^2 + (f(1))^2 \ne 0$ và với mọi $n$ nguyên dương đủ lớn thì $f(n!) \vdots 2n+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 18-06-2018 - 19:57
Xác định đa thức $f(x)$ thỏa mãn $(f(-1))^2 + (f(1))^2 \ne 0$ và với mọi $n$ nguyên dương đủ lớn thì $f(n!) \vdots 2n+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 18-06-2018 - 19:57
Sống khỏe và sống tốt
Lời giải sau của mình xem $f$ là đa thức hệ số nguyên. Giả sử tồn tại đa thức thỏa đề, gọi $\deg(f)=d$ và đặt $f(x)=a_dx^d+\dots+a_1x+a_0$.
Với mỗi $i\in \{0,1\}$, gọi $A_i$ là tổng các phần tử của tập hợp $\{a_k:k\equiv i\pmod{2}\}$. Với mỗi số nguyên tố $p$, đặt $x_p=\left ( \frac{p-1}{2} \right )!$. Theo định lí Wilson thì
\[-1\equiv(p-1)!\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}x_p^2\pmod{p}.\]
Chọn $p\equiv 3\pmod{4}$ thì $x_p^2\equiv 1\pmod{p}$, áp dụng tính chất này ta có $A_0+x_pA_1\equiv f(x_p)\equiv 0 \pmod{p}$. Dẫn đến
\[A_0^2-A_1^2\equiv (A_0+x_pA_1)(A_0-x_pA_1)\equiv 0\pmod{p}.\]
Cho $p\to \infty$ thì $A_0^2-A_1^2=0$, nghĩa là $A_0=A_1$ hoặc $A_0+A_1=0$, tương đương $f(-1)=0$ hoặc $f(1)=0$ (mâu thuẫn gỉa thiết).
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh