Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Gọi n là số các số chẵn nằm trong khoảng $(\frac{p}{2};p)$. Chứng minh rằng:
$$ 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n (mod \, p)$$
P/s : Lâu lâu nghịch lại thặng dư cũng hay hay(đùa )
Chú ý: Không dùng thặng dư bình phương để giải, hãy nêu một cách giải khác
Có trong sách Tài liệu chuyên toán giải tích 12 đó em. Em tham khảo trong đó
Ở đây em muốn nói đến cách không dùng thặng dư thôi , vì nó phức tạp mà đi thi mà chứng minh được mấy cái này cũng lòi mắt ra
Solution:
Giả sử $t_{1}; t_{2}; ....; t_{n}$ là các số chẵn trong khoảng $(\frac{p}{2};p)$
Vậy $ p-t_{1}; p-t_{2} ;......; p-t_{n}$ là các số lẻ trong khoảng $(0;\frac{p}{2})$
Gọi $q_{1}; q_{2}; ......; q_{m}$ là các số chẵn trong khoảng $(0;\frac{p}{2})$
Thì $m+n =\frac{p-1}{2}$
Ta có : Tập hợp $A=\left\{q_{1},q_{2},....,q_{m}, p-t_{1},p-t_{2},...p-t_{n} \right\}$ thì
$A=\left\{1,2,.....,3,\frac{p-1}{2} \right\}$
Nên $q_{1}q_{2}...q_{n}(p-t_{1})(p-t_{2})...(p-t_{n}) =(\frac{p-1}{2})!$ $(1)$
Mặt khác ta thấy $q_{1}q_{2}...q_{m}(p-t_{1})(p-t_{2})...(p-t_{n}) \equiv q_{1}q_{2}...(-t_{1})(-t_{2})...(-t_{n}) \,\,\,\, (mod p)$
$\Leftrightarrow q_{1}q_{2}...q_{m}(p-t_{1})(p-t_{2})...(p-t_{n}) \equiv (-1)^nq_{1}q_{2}...q_{m}t_{1}t_{2}...t_{n}\,\,\,\,(mod p)$ $(2)$
Vì $q_{1},..,q_{m}; t_{1},...t_{n} $ là các số chẵn trong khoảng $(0;p)$
Nên $q_{1}...q_{m}t_{1}...t_{n}=2.4.6....(p-1)$
$=(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)...(2.\frac{p-1}{2})$
$=2^{\frac{p-1}{2}}.(\frac{p-1}{2})!$ $(3)$
Từ$ (1)(2)(3) \Rightarrow 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n \,\,\,\, (mod p)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 20-06-2018 - 18:13