5 replies to this topic

[Tea Coffee]

Cho $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{x}{2y^{4}+2z+1}+\frac{y}{2z^{4}+2x+1}+\frac{z}{2x^{4}+2y+1}< 1$

Đây là bài BĐT của bạn PhanDHNam chế ra nhưng topic của bạn ấy bị khóa nên mình đưa sang đây để mọi người cùng thảo luận.

[Tea Coffee]

$\frac{x}{y^{4}+2y^{2}+2z}=\frac{x}{(y^{2}+1)^{2}+2z-1}< \frac{x}{2z-1}$

$\frac{x}{2z-1}+\frac{y}{2x-1}+\frac{z}{2y-1}< 1<=>x(2x-1)(2y-1)+y(2y-1)(2z-1)+z(2z-1)(2x-1)< (2x-1)(2y-1)(2z-1)<=>x(4xy-2x-2y+1)+y(4yz-2y-2z+1)+z(4xz-2z-2x+1)< (2x-1)(4yz-2y-2z+1)<=>4x^{2}y-2x^{2}-2xy+x+4y^{2}z-2y^{2}-2yz+y+4xz^{2}-2z^{2}-2xz+z< 8xyz-4xy-4xz+2x-4yz+2y+2z-1<=>4x^{2}y+4y^{2}z+4z^{2}x-2x^{2}-2y^{2}-2z^{2}< 8xyz+x+y+z-1-2xy-2yz-2xz$

[thien huu]

Ta chứng minh BĐT $2y^4+2z+1> x+y+z$ luôn đúng.

Ta có:

$2y^4-2y+1=2y^4-2y^2+\frac{1}{2}+2y^2-2y+\frac{1}{2}= 2(y^2-\frac{1}{2})^2+2(y-\frac{1}{2})^{2}> 0$

Hay $2y^4+1>2y$

Do đó $2y^4+2z+1>2y+2z=(y+z)+(y+z)> x+y+z$ (do x,y,z là 3 cạnh của một tam giác)

Tương tự, ta được: VT<$\sum \frac{x}{x+y+z}= 1$(Q.E.D)

[PhanDHNam]

Sao lại bị khóa thế bác em mới vô ko biết

[PhanDHNam]

$\frac{x}{y^{4}+2y^{2}+2z}=\frac{x}{(y^{2}+1)^{2}+2z-1}< \frac{x}{2z-1}$
$\frac{x}{2z-1}+\frac{y}{2x-1}+\frac{z}{2y-1}< 1<=>x(2x-1)(2y-1)+y(2y-1)(2z-1)+z(2z-1)(2x-1)< (2x-1)(2y-1)(2z-1)<=>x(4xy-2x-2y+1)+y(4yz-2y-2z+1)+z(4xz-2z-2x+1)< (2x-1)(4yz-2y-2z+1)<=>4x^{2}y-2x^{2}-2xy+x+4y^{2}z-2y^{2}-2yz+y+4xz^{2}-2z^{2}-2xz+z< 8xyz-4xy-4xz+2x-4yz+2y+2z-1<=>4x^{2}y+4y^{2}z+4z^{2}x-2x^{2}-2y^{2}-2z^{2}< 8xyz+x+y+z-1-2xy-2yz-2xz$

Bác sai đề rồi kìa

Edited by PhanDHNam, 25-06-2018 - 08:48.

[PhanDHNam]

Ta chứng minh BĐT $2y^4+2z+1> x+y+z$ luôn đúng.
Ta có:
$2y^4-2y+1=2y^4-2y^2+\frac{1}{2}+2y^2-2y+\frac{1}{2}= 2(y^2-\frac{1}{2})^2+2(y-\frac{1}{2})^{2}> 0$
Hay $2y^4+1>2y$
Do đó $2y^4+2z+1>2y+2z=(y+z)+(y+z)> x+y+z$ (do x,y,z là 3 cạnh của một tam giác)
Tương tự, ta được: VT<$\sum \frac{x}{x+y+z}= 1$(Q.E.D)

Chuẩn rồi bạn