4 replies to this topic

[Korkot]

Cho x,y là các số thực không âm thỏa x+y=2. CMR $x^6y^6(x^4+y^4) \leq 2$

[Nguyenvanhongphuc]

k có đk ak

[conankun]

Ta có:

 $$x^6y^6(x^4+y^4)\leq \frac{1}{1024}[xy(x^2+y^2)]^2[xy(x^2+y^2+2xy)]^4(x^4+y^4)=\frac{1}{64}(x^3y+xy^3)^2.\frac{1}{16}(x^3y+2x^2y^2+xy^3)^4(x^4+y^4)\leq \frac{1}{64}.\frac{1}{6^6}[x^4+y^4+2(xy^3+x^3y)+2(2x^2y^2+x^3y+xy^3)]^6$$

 

sorry mk lộn

Edited by conankun, 29-06-2018 - 12:37.

[doctor lee]

Cho x,y là các số thực không âm thỏa x+y=2. CMR $x^6y^6(x^4+y^4) \leq 2$

ta có vt=$\frac{1}{2}x^{4}y^{4}.2x^{2}y^{2}.(x^{4}+y^{4})\leq \frac{1}{2}x^{4}y^{4}.(\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2})^{2}=\frac{1}{2}x^{4}y^{4}.\frac{(x^{2}+y^{2})^{4}}{4}=\frac{1}{8}.[xy.(x^{2}+y^{2})]^{4}$

=$\frac{[2xy.(x^{2}+y^{2})]^{4}}{8.16}\leq \frac{(x+y)^{8}}{8.16}=2$

dau = sảy ra khi x=y=1

[tr2512]

Cho x,y là các số thực không âm thỏa x+y=2. CMR $x^6y^6(x^4+y^4) \leq 2$

Áp dụng AM-GM 2 lần:

$128{x^6}{y^6}\left( {{x^4} + {y^4}} \right) = 16{x^4}{y^4}*4*2{{\rm{x}}^2}{y^2}\left( {{x^4} + {y^4}} \right) \le 16{{\rm{x}}^4}{y^4}{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^4} = {\left[ {2{\rm{x}}y\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]^4} \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^{16}}}}{{{2^4}}} = 256$

Rút gọn $128$ cho 2 vế hoàn tất chứng minh.