Chủ đề này có 1 trả lời

[Thong Nhat]

Cho p là số nguyên tố. Tìm $a,b,c \in \mathbb{N}^*$ sao cho $a^p+b^p=p^c$

[Hr MiSu]

Đối với mình, khá trâu bò ^^

Xét $p>2$, đặt $a=p^x.y,b=p^z.t$, $x,y,z,t\in \mathbb{N}$,$t,y\geq 1,$ nguyên tố cùng nhau với $p$.

K mất tổng quát, gs $x\geq z$ ta có $n\geq px\geq pz$. 

PTDC $\Leftrightarrow t^p+p^{p(x-z)}.y^p=p^{c-pz}$, nếu $x>z$ thì $p$ ko chia hết $VT$, do đó $p$ không chia hết $p^{c-pz}$

hay $c=pz$, ta đc pt: $t^p+p^{p(x-z)}.y^p=1$ mâu thuẫn vì $VT>1$ vậy $x=z$ hay 

$t^p+y^p=p^k,k=c-pz\geq 1$.

Vì $p$ là snt lẻ nên theo bổ đề LTE, kết hợp với pt trên ta có ta có $v_p(t+y)=k-1$

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{matrix} t+y=p^{k-1}\\ t^p+y^p=p^k \end{matrix}\right.$

Do $p$ là snt lẻ nên $t$ hoặc $y$ lớn hơn 1, nếu có 1 số bằng 1 giả sử là $t$ thế thì 

$1=p^{k-1}-y=p^k-y^p\Leftrightarrow p^{k-1}(1-p)=y.(1-y^{p-1}) \Rightarrow y|p-1 \Rightarrow y=p-1$ (do $p|y+1$)

thay vào: $(y+1)^{k-1}=y+1$ vì thế k=1, suy ra $v_p(t+y)=0$ vô lý

Vậy $t,y>1$ nhưng nếu thế thì $p^c=t^p+y^p>p.(t+y)=p^c$ vô lý

Vậy p=2.

Lập luận tương tự đưa ta đến việc xét phương trình: $a^2+b^2=2^c$, $a,b$ lẻ, $c\geq 1$

Nếu $a=1$ thì $b^2=2^c-1$, nếu $c>1$ thì $b^2=2^c-1\equiv -1 (mod 4)$ vô lý, do đó $c=1, b=1$

Xét $a,b>1$ lẻ, đặt $a=2m+1,b=2n+1$ suy ra $c>1$, ta có $1=2^{c-1}-2m^2-2n^2-2m-2n$ vô lý

Vậy tất cả các nghiệm thỏa mãn bài là $p=2, a=b=2^x, c=x+1$, $x\in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hr MiSu: 25-07-2018 - 20:49