6 replies to this topic

[Khoa Linh]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0$. Chứng minh rằng: 

 

$\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \sum \frac{a}{a+b}+\frac{1}{4}$

Edited by Khoa Linh, 25-07-2018 - 23:32.

[DOTOANNANG]

Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0$. Chứng minh rằng: 

 

$\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \sum \frac{a}{a+b}+\frac{1}{4}$

 

Thay $a= 0,\,c= b$ thì chúng ta thấy không thỏa và cũng nhận ra $\sum\limits_{cyc} \left ( \frac{a}{a+ b} \right )^{2} +  \frac{4\prod\limits_{cyc}a}{\prod\limits_{cyc}\left (a+ b \right )}- \sum\limits_{cyc} \frac{a}{a+ b}  \geqq  \frac{-\,1}{\,\,4} $ thì mới đúng!

$$\sum\limits_{cyc} \left ( \frac{a}{a+ b} \right )^{2}+\frac{4\prod\limits_{cyc}a}{\prod\limits_{cyc}\left (a+ b \right )}- \sum\limits_{cyc} \frac{a}{a+ b}+ \frac{1}{4}=  \frac{\prod\limits_{cyc}\left ( a- b \right )^{2}}{4\,\prod\limits_{cyc}\left ( a+ b \right )^{2}} $$

[Unrruly Kid]

Bất đẳng thức này sai, bất đẳng thức được chứng minh:

$$\sum \left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \sum \frac{a}{a+b}-\frac{1}{4}$$

$$\left(\sum_{cyc}\frac{2a}{a+b}-3\right)^2\geq0.$$

[Unrruly Kid]

Ta có \[\frac{a^2}{(a+b)^2} = \frac{a}{a+b}-\frac{ab}{(a+b)^2},\]

Bất đẳng thức được viết lại

\[\frac14+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geqslant \sum \frac{ab}{(a+b)^2},\]

\[\sum \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 \geqslant 2 - \frac{16abc}{(a+b)(b+c)(c+a)},\]

\[\sum \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 \geqslant 2 \sum \frac{(a-b)(a-c)}{(a+b)(a+c)},\]

\[ \left(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right)^2 \geqslant 0.\]

[Unrruly Kid]

1 lời giải khác

Đặt $\frac{2a}{a+b}=x$,$\frac{2b}{b+c}=y$,$\frac{2c}{c+a}=z$

Ta có $$\prod_{cyc}\left(\frac{2}{x}-1\right)=1$$

Hay $$xyz-xy-xz-yz=4-2(x+y+z).$$

Ta cần chứng minh

$$\frac{1}{4}(x^2+y^2+z^2)+\frac{1}{2}xyz\geq\frac{1}{2}(x+y+z)-\frac{1}{4}$$

$$(x+y+z)^2-2(xy+xz+yz)+2xyz\geq2(x+y+z)-1$$

$$(x+y+z)^2+2(4-2(x+y+z))\geq2(x+y+z)-1$$

$$(x+y+z-3)^2\geq0.$$

[niemvuitoan]

$(x+y+z-3)^2\geq0$

[niemvuitoan]

$(\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c+a}{c-a})^2\geq0$

Edited by niemvuitoan, 28-07-2018 - 13:37.