Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n>1$ thì $3^{n}-2^{n}$ không chia hết $n$
$3^{n}-2^{n}$ không chia hết $n$
#1
Posted 30-09-2018 - 20:46
#2
Posted 01-10-2018 - 18:07
Bài sử dụng cấp số nguyên trong quyển Number Theory của Titu.
Hoặc gõ "cấp số nguyên" lên google rồi file doc thứ 3 trên xuống.
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#3
Posted 24-10-2018 - 21:44
Giả sử tồn tại n thoả mãn đề bài
Vì $n\geq 2 = > p\geq 5$
Mặt khác: Gọi p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n, ta có:
$3^n \equiv 2^{n} \left ( mod p \right )$
Tồn tại số nguyên a sao cho $\left ( 3a \right )^{n} \equiv \left ( 2a \right )^{n} \equiv 1 \left ( mod p\right )$
Gọi h là số tự nhiên nhỏ nhất để $\left ( 3a \right )^{h} \equiv 1 \left ( mod p \right )$
nên theo tính chất cấp số nguyên ta có
$n \vdots h$
Lại có: Áp dụng định lí Fermat nhỏ thì $\left ( 3a \right )^{p-1}\equiv 1\left ( mod p\right )$ (vì $p\geq 5$) nên theo tính chất cấp số nguyên ta cũng có
$p-1 \vdots h = > h \leq p-1< p$ mà $n\vdots h$ và p là ước nguyên tố nhỏ nhất của n $= > h= 1$ $= > \left ( 3a \right ) \equiv 1 \left ( mod p\right )$ và $\left ( 2a \right )\equiv 1\left ( mod p\right )$ $= > a\vdots p = >$ Vô lí
Edited by WaduPunch, 24-10-2018 - 21:48.
- Tea Coffee and thanhdatqv2003 like this
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users