Bài 1
Ta có: $x+y=2\Leftrightarrow (x+y)^{2}=4\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2xy=4\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=4-2xy$
Mặt khác theo BĐT Côsi: $0< xy\leq$$\frac{(x+y)^{2}}{4}$ = 1 $\Leftrightarrow 0< xy\leq 1$
Ta có $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})=x^{2}y^{2}(4-2xy)$, đặt xy = t (0$< t\leq 1$)
Khảo sát hàm số: $f(t)=t^{2}(4-2t)=-2t^{3}+4t^{2}$
tập xác định: $t\in \left ( 0,1 \right ]$
$f'(t)=-6t^{2}+8t$
$f'(t)=0\Leftrightarrow -6t^{2}+8t=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=0 & & \\ t=\frac{4}{3} & & \end{bmatrix}$
Bảng biến thiên:
t : -$\infty$-----------0--------------1---------------$\frac{4}{3}$----------------+$\infty$
f'(t): - 0 + 0 -
f(t): 0 ↑ 2
Từ bảng biến thiên ta có $f(t)\leq 2\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$, dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Bài 2:
Tương tự ta có: $x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})=x^{3}y^{3}\left [ (x+y)^{3}-3xy(x+y) \right ]=x^{3}y^{3}(8-6xy)$, Đặt $xy=t (0< t\leq 1)$
Khảo sát hàm số $f(t)=t^{3}(8-6t)=-6t^{4}+8t^{3}$ với $t\in \left ( 0,1 \right ]$ ta được $0< f(t)\leq 2\Leftrightarrow 0< x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})\leq 2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dchynh: 21-10-2018 - 14:31