4 replies to this topic

[Sin99]

E có bài nay mong mọi người góp ý ạ 

B1: Cho x,y là các số dương thỏa x+y=2.

CMR: x²y²(x²+y²)$\leq$2.

B2:Cho x,y là các số dương thỏa x+y=2.

CMR: x³.y³(x³+y³)$\leq$2.

B3:Cho x,y là các số dương thỏa x+y=2 và hằng số k thuộc Z+

CMR : x^ky^k(x^k+y^k)$\leq$2.

[dat102]

E có bài nay mong mọi người góp ý ạ 

B1: Cho x,y là các số dương thỏa x+y=2.

CMR: x²y²(x²+y²)$\leq$2.

B2:Cho x,y là các số dương thỏa x+y=2.

CMR: x³.y³(x³+y³)$\leq$2.

B3:Cho x,y là các số dương thỏa x+y=2 và hằng số k thuộc Z+

CMR : x^ky^k(x^k+y^k)$\leq$2.

Đây bài toán mà thầy Trần Nam Dũng có bài viết về chúng, và hình như là dạy cho các em lớp 8. Riêng trường hợp tổng quát thì dành cho hs lớn hơn

Bạn thử dùng quy nạp xem

[Sin99]

E chỉ đang mắc TH tổng quát thôi ạ, thử dùng qui nạp r nhưng còn kém quá nên nhờ các anh chị góp ý ạ 

[dchynh]

Bài 1

 

Ta có: $x+y=2\Leftrightarrow (x+y)^{2}=4\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+2xy=4\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=4-2xy$

 

Mặt khác theo BĐT Côsi: $0< xy\leq$$\frac{(x+y)^{2}}{4}$ = 1 $\Leftrightarrow 0< xy\leq 1$

 

Ta có $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})=x^{2}y^{2}(4-2xy)$, đặt xy = t  (0$< t\leq 1$)

 

Khảo sát hàm số: $f(t)=t^{2}(4-2t)=-2t^{3}+4t^{2}$

 

tập xác định: $t\in \left ( 0,1 \right ]$

 

$f'(t)=-6t^{2}+8t$

 

$f'(t)=0\Leftrightarrow -6t^{2}+8t=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=0 & & \\ t=\frac{4}{3} & & \end{bmatrix}$

 

Bảng biến thiên:

t : -$\infty$-----------0--------------1---------------$\frac{4}{3}$----------------+$\infty$

f'(t):          -     0                 +                   0            -

f(t):                 0        ↑       2

 

Từ bảng biến thiên ta có $f(t)\leq 2\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$, dấu "=" xảy ra khi x=y=1

 

Bài 2:

 

Tương tự ta có: $x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})=x^{3}y^{3}\left [ (x+y)^{3}-3xy(x+y) \right ]=x^{3}y^{3}(8-6xy)$, Đặt $xy=t (0< t\leq 1)$

 

Khảo sát hàm số $f(t)=t^{3}(8-6t)=-6t^{4}+8t^{3}$ với $t\in \left ( 0,1 \right ]$ ta được $0< f(t)\leq 2\Leftrightarrow 0< x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})\leq 2$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=1

 

Edited by dchynh, 21-10-2018 - 14:31.

[Sin99]

2 bài đầu e làm dc rồi ạ, còn bài cuối chị có cách nào chơi nó ko ạ ^^