Chủ đề này có 9 trả lời

[Sin99]

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa x + y + z = 3 

Tìm Max, Min của M = $\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{y}{y^{2}+1}+\frac{z}{z^{2}+1}$

Mong các anh chị góp ý ạ, e còn yếu phần BDT này quá ( 

[nhuleynguyen]

Ta có

$\frac{x}{x^2+1}\leq \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}(x^2+1\geq 2x)$

$\frac{y}{y^2+1}\leq \frac{y}{2y}=\frac{1}{2}(y^2+1\geq 2y)$

$\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{z}{2z}=\frac{1}{2}(z^2+1\geq 2z)$

Cộng vế theo vế ta được

$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq 3.\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy GTLN là $\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

[DOTOANNANG]

Cho $x,\,y,\,z\,>0$ và $x+ y+ z\,= 3$. Chứng minh rằng:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x+ yz}+ \frac{y}{y+ zx}+ \frac{z}{z+ xy}\geqq \frac{3}{2}\\ \\ \frac{3}{4}\geqq \frac{x}{x+ yz+ 1+ x^{2}}+ \frac{y}{y+ zx+ 1+ y^{2}}+ \frac{z}{z+ xy+ 1+ z^{2}} \end{matrix}\right.$$

[DOTOANNANG]

Cho $x,\,y,\,z\,>0$ và $x+ y+ z\,= 3$. Chứng minh rằng:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x+ yz}+ \frac{y}{y+ zx}+ \frac{z}{z+ xy}\geqq \frac{3}{2}\\ \\ \frac{3}{4}\geqq \frac{x}{x+ yz+ 1+ x^{2}}+ \frac{y}{y+ zx+ 1+ y^{2}}+ \frac{z}{z+ xy+ 1+ z^{2}} \end{matrix}\right.$$

$$\frac{4\,x}{x+ yz+ 1+ x^{2}}\leqq \frac{x}{x+ yz}+ \frac{x}{1+ x^{2}}$$

[Sin99]

Ta có

$\frac{x}{x^2+1}\leq \frac{x}{2x}=\frac{1}{2}(x^2+1\geq 2x)$

$\frac{y}{y^2+1}\leq \frac{y}{2y}=\frac{1}{2}(y^2+1\geq 2y)$

$\frac{z}{z^2+1}\leq \frac{z}{2z}=\frac{1}{2}(z^2+1\geq 2z)$

Cộng vế theo vế ta được

$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\leq 3.\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy GTLN là $\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

Còn Min thì sao v ạ 

[Sin99]

$$\frac{4\,x}{x+ yz+ 1+ x^{2}}\leqq \frac{x}{x+ yz}+ \frac{x}{1+ x^{2}}$$

Như thế thì sao hả a, e chưa hiểu lắm. E nghĩ nếu $$\frac{4\,x}{x+ yz+ 1+ x^{2}}\leqq \frac{x}{x+ yz}+ \frac{x}{1+ x^{2}}$$ thì để tìm Min của M ta cần tìm Max của \frac{x}{x+ yz} đúng ko ạ 

[DOTOANNANG]

$$3\geqq \sum\limits_{\text{cyc}} \frac{x\left ( 3- x \right )}{x+ yz}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 31-10-2018 - 18:50

[DOTOANNANG]

Cho $x,\,y,\,z\,>0$ và $x+ y+ z\,= 3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{x}{x+ yz}+ \frac{y}{y+ zx}+ \frac{z}{z+ xy}\geqq \frac{3}{2}$$

$$\sum\limits_{i= 1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i}+ \frac{\prod\limits_{i= 1}^{n}x_{i}}{x_{i}}}\geqq \frac{n}{2}\,\,\left ( n\geqq 2 \right )$$

[DOTOANNANG]

$\frac{1}{2}\geqq x,\,y,\,z\geqq 0$

 

$$\frac{x^{2}}{x+ 1}+ \frac{y^{2}}{y+ 1}+ \frac{z^{2}}{z+ 1}\leqq \frac{3}{2}- \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}- x \right )\left ( \frac{1}{2}- y \right )\left ( \frac{1}{2}- z \right )$$

 

 

 

[DOTOANNANG]

$\frac{1}{2}\geqq x,\,y,\,z\geqq 0$

 

$$\frac{x^{2}}{x+ 1}+ \frac{y^{2}}{y+ 1}+ \frac{z^{2}}{z+ 1}\leqq \frac{3}{2}- \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2}- x \right )\left ( \frac{1}{2}- y \right )\left ( \frac{1}{2}- z \right )$$

$\frac{1}{3}\geqq x,\,y,\,z\geqq 0$

 

$$\frac{x^{2}}{x+ 1}+ \frac{y^{2}}{y+ 1}+ \frac{z^{2}}{z+ 1}\leqq \frac{3}{2}- \frac{81}{2}\,\cdot\,\,\left ( \frac{1}{3}- x \right )\left ( \frac{1}{3}- y \right )\left ( \frac{1}{3}- z \right )$$