Chủ đề này có 2 trả lời

[t1k28CHT]

1. Tìm GTLN của $A=x^{2}(y-z)+y^{2}(z-y)+z^{2}(1-z)$ với $0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 1$.

2. Cho a, b là số thực dương thỏa mãn a+b=1.

Tìm GTNN của $M=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{4}+b^{4}}{2}$.

3. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn x+y=1.

Tìm GTLN của $A=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}$.

[Song Binh]

Câu 3 nhé bạn: 

 Ta có: $x\sqrt{1+y} + y\sqrt{1+x} = \sqrt{x}\sqrt{x+xy} + \sqrt{y}\sqrt{y+xy}$

 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: $\sqrt{x}\sqrt{x+xy} + \sqrt{y}\sqrt{y+xy} \leq \sqrt{(x+y)[(y+xy)+(x+xy)]} = \sqrt{1+2xy}$

                    (Do $x+y =1$ và $x,y>0$ )

Áp dụng bất đẳng thức phụ: $ab \leq (\frac{a+b}{2})^2$ 

    => $A \leq \sqrt{1+2xy} \leq \sqrt{1+2(\frac{x+y}{2})^2} = \sqrt{1+2(\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Vậy $A \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Song Binh: 23-12-2018 - 15:53

[Song Binh]

1. Tìm GTLN của $A=x^{2}(y-z)+y^{2}(z-y)+z^{2}(1-z)$ với $0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 1$.

2. Cho a, b là số thực dương thỏa mãn a+b=1.

Tìm GTNN của $M=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{4}+b^{4}}{2}$

3. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn x+y=1.

Tìm GTLN của $A=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}$.

Câu 2 nè

Ta có: $ab \leq (\frac{a+b}{2})^2 = \frac{1}{4} => \frac{1}{ab} \geq 4$

$\frac{1}{2ab}+ \frac{1}{a^2+b^2} \geq \frac{4}{(a+b)^2} = 4$

$\frac{a^4+b^4}{2} = \frac{a^4+b^4+\frac{1}{16} + \frac{1}{16}}{2}- \frac{1}{16} \geq \frac{ab}{2}-\frac{1}{16}$ (Dùng BĐT Cauchy cho 4 số dương)

Suy ra M = $\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{4}+b^{4}}{2} = (\frac{1}{a^{2}+b^{2}} +\frac{1}{2ab})+ \frac{3}{2ab} + \frac{ab}{2} - \frac{1}{16} = (\frac{1}{a^{2}+b^{2}} +\frac{1}{2ab}) + (\frac{ab}{2} + \frac{1}{32ab})+ \frac{47}{32ab} - \frac{1}{16} \geq 4 + \frac{1}{4} + \frac{47}{32}\times 4 - \frac{1}{16} = \frac{161}{16}$

  Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

Vậy GTNN của M là $\frac{161}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Song Binh: 25-12-2018 - 22:45