1 reply to this topic

[iloveyoubebe]

Tìm số nguyên tố p sao cho $p^2-p+1$ là lập phương của 1 số tự nhiên.

[tritanngo99]

Tìm số nguyên tố p sao cho $p^2-p+1$ là lập phương của 1 số tự nhiên.

Lời giải: 

Giả sử $p^2-p+1=q^3(q\in \mathbb{N})(1)$.

Đầu tiên ta đi chứng minh: $p>q$.

Thật vậy, Ta có: $p^2-p+1<p^3\iff 0<(p+1)^2(p-1)$ (luôn đúng do $p\ge 2$).

Nên suy ra: $q^3=p^2-p+1<p^3\implies q<p$.

Lại có : $(1)\iff p(p-1)=q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)$

Do $p$ là số nguyên tố nên từ đây ta suy ra được: $p|q-1$ hoặc $p|q^2+q+1$.

TH1: Nếu $p|q-1\implies p\le q-1<q$ (Mâu thuẩn do $p>q$).

TH2: $p|q^2+q+1\implies q^2+q+1=kp(k\in \mathbb{N^*})(2)$

Thay lại vào $(1)\implies p(p-1)=(q-1).kp\implies p-1=k(q-1)\implies p=k(q-1)+1(3)$.

Thay $(3)$ vào $(2)$ ta được: $q^2+q+1=k[k(q-1)+1]\iff q^2+(1-k^2)q+(k^2-k+1)=0(4)$.

Xét $\Delta=(1-k^2)^2-4(k^2-k+1)=k^4-6k^2+4k-3$.

Để phương trình $(4)$ có nghiệm nguyên dương thì $\Delta$ phải là số chính phương.

+Xét $k=1\implies \Delta=-4<0$ (loại)

+Xét $k=2\implies \Delta=-3<0$ (loại)

+ Xét $k=3\implies \Delta=36>0$ và $36$ là số chính phương.

Khi đó ta tìm được: $q=7\implies p=19$.

+Xét $k>3$.

Khi đó ta dễ dàng chứng minh được: $(k^2-3)^2<\Delta<(k^2-2)^2$. (loại).

Kết luận: Vậy với $p=19$ thì $p^2-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên.

Edited by tritanngo99, 03-02-2019 - 19:58.