Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt BI, CI tại K, M.Gọi B',C' là giao điểm của các cặp đường thẳng (BI,AC) và (CI,AB). Đường thẳng B'C' cắt (ABC) tại N,E. Chứng minh rằng M,N,E,K cùng thuộc một đường tròn
Chứng minh M,N,E,K cùng thuộc đường tròn
#1
Đã gửi 08-02-2019 - 15:38
#2
Đã gửi 11-02-2019 - 22:04
Không mất tổng quát giả sử $AB<AC.$ Gọi $AI,AM$ cắt $BC$ tại $A',D.$
Áp dụng định lí $Ceva$ cho $\Delta ABC: \frac{BA'}{A'C}. \frac{CB'}{B'A}. \frac{AC'}{C'B}=1.$
Lại có $AA',AD$ là phân giác trong và ngoài $\widehat{BAC} \Delta ABC \Rightarrow \frac{BA'}{A'C}= \frac{BA}{AC}= \frac{BD}{DC} \Rightarrow \frac{BD}{DC}. \frac{CB'}{B'A}. \frac{AC'}{C'B}=1.$
Áp dụng định lí $Menelaus$ cho $\Delta ABC: \overline{D,B',C'} \Rightarrow DN.DE=DB.DC.$
Lại có $\widehat{CMA}=90^0- \widehat{MIA}=90^0- \widehat{IAC}- \widehat{ICA}= \frac{180^0- \widehat{BAC}- \widehat{BCA}}{2}= \frac{\widehat{ABC}}{2}= \widehat{CBK}$
$\Rightarrow M,K,B,C$ đồng viên $\Rightarrow DM.DK=DB.DC=DN.DE \Rightarrow M,N,E,K$ đồng viên.
Ta có đpcm.
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh