Chủ đề này có 2 trả lời

[badboykmhd123456]

Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}$

[tritanngo99]

Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{x+2y+3}+\frac{1}{y+2z+3}+\frac{1}{z+2x+3}$

Ta sẽ chứng minh rằng: $P_{max}=\frac{1}{2}$.

Thật vậy, ta có: $P=\sum \frac{1}{x+2y+3}=\frac{7\sum xy+2\sum x^2+18\sum x+27}{2\sum x^2y+4\sum xy^2+6\sum x^2+21\sum xy+9xyz+27\sum x+27}$.

Ta có: $P\le \frac{1}{2}\iff \frac{7\sum xy+2\sum x^2+18\sum x+27}{2\sum x^2y+4\sum xy^2+6\sum x^2+21\sum xy+9xyz+27\sum x+27}\le \frac{1}{2}$.

$\iff 2\sum x^2y+4\sum x^2z+2\sum x^2+7\sum xy\ge 9\sum x+18$.

Theo AM-GM ta có: $2x^2y+xz^2=x^2y+x^2y+xz^2=x(xy+xy+z^2)\ge 3x\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3x$, tương tự ta có: $2y^2z+yx^2\ge 3y;2z^2x+zy^2\ge 3z$.

Cộng ba bất đẳng thức trên ta được: $3\sum x^2y\ge 3x\iff \sum x^2y\ge \sum x$.

Chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có: $\sum x^2z\ge \sum x$.

Khi đó ta có: $2\sum x^2y+4\sum x^2z+2\sum x^2+7\sum xy=2\sum x^2y+4\sum x^2z+(x+y+z)^2+\sum x^2+5\sum xy$.

Ta thấy rằng:

+$2\sum x^2y\ge 2\sum x$

+$4\sum x^2z\ge 4\sum x$

+$(x+y+z)^2=(x+y+z)(x+y+z)\ge 3\sqrt[3]{xyz}.(x+y+z)=3\sum x$.

+$\sum x^2\ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3$

+$5\sum xy\ge 5.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=15$

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 23-05-2019 - 18:01

[nguyendinhnguyentoan9]

Em xin góp 1 cách giải khác

Ta có $\frac{1}{9}(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y+1})$

tương tự với các phân thức còn lại rồi rút gọn ta có P=$\frac{1}{9}(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1})

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyendinhnguyentoan9: 29-05-2019 - 10:37