Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1}}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{\sqrt{b^{2}c^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{\sqrt{c^{2}a^{2}+c^{2}+a^{2}+1}}{\sqrt{1+b^{2}}}$
Tìm GTNN của P
Started By chcd, 11-06-2019 - 22:16
#1
Posted 11-06-2019 - 22:16
#2
Posted 12-06-2019 - 08:32
Đầu tiên ta có đẳng thức: $a^{2}+1=a^{2}+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$
Tương tự: $b^{2}+1=(b+c)(b+a), c^{2}+1=(c+a)(c+b)$
Ta có $P=\sum \sqrt{\frac{(b^{2}+1)(a^{2}+1)}{c^{2}+1}}=\sum \sqrt{\frac{(b+c)(b+a)(a+b)(a+c)}{(c+a)(c+b)}}=\sum (a+b)=2(a+b+c)$
$\Rightarrow P\geq 2\sqrt{3(ab+bc+ca)}=2\sqrt{3}$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Vậy $minP=2\sqrt{3}$ khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$
______________ ______________
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users