Chứng minh rằng nếu số tự nhiên n thỏa mãn 1 + 2^{n} + 4^{n} là số nguyên tố thì n phải là lũy thừa của 3
Số nguyên tố
Bắt đầu bởi I love Juventus and CR7, 18-06-2019 - 09:48
#1
Đã gửi 18-06-2019 - 09:48
#2
Đã gửi 18-06-2019 - 15:26
xét n=$3k+1$ ta có:$A=1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3k+1}+4^{3k+1}=\left ( 2^{3k}+1 \right )^{2}+3.4^{3k}$
theo fermat nhỏ $2^{3k}\equiv 2(mod 3)$$\Rightarrow A\vdots 3$ mà A>1 => A ko phải số nguyên tố (loại)
xét n=$3k+2$ ta có: 2A=$2(1+2^{3k+2}+4^{3k+2})$=$\left ( 1+2^{3k+2} \right )^{2}+4^{3k+2}+1=\left ( 1+4.2^{3k} \right )^{2}+16.4^{3k}+1\vdots 3$ mà (2,3)=1$\Rightarrow A\vdots 3\Rightarrow$ Ako phải số nguyên tố (loại)
=>n=$3k$ rồi xét các TH k=3a+1 3a+2 =>k=3a
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gammaths11: 18-06-2019 - 16:55
- nhimtom yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh