1 reply to this topic

[I love Juventus and CR7]

Chứng minh rằng nếu số tự nhiên n thỏa mãn 1 + 2^{n} + 4^{n} là số nguyên tố thì n phải là lũy thừa của 3

[Gammaths11]

xét n=$3k+1$ ta có:$A=1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3k+1}+4^{3k+1}=\left ( 2^{3k}+1 \right )^{2}+3.4^{3k}$

theo fermat nhỏ $2^{3k}\equiv 2(mod 3)$$\Rightarrow A\vdots 3$ mà A>1 => A ko phải số nguyên tố (loại)

xét n=$3k+2$ ta có: 2A=$2(1+2^{3k+2}+4^{3k+2})$=$\left ( 1+2^{3k+2} \right )^{2}+4^{3k+2}+1=\left ( 1+4.2^{3k} \right )^{2}+16.4^{3k}+1\vdots 3$ mà (2,3)=1$\Rightarrow A\vdots 3\Rightarrow$ Ako phải số nguyên tố (loại)

=>n=$3k$ rồi xét các TH k=3a+1 3a+2 =>k=3a  

Edited by Gammaths11, 18-06-2019 - 16:55.