Đề nghị 24/06/2019- Chứng minh bất đẳng thức sau:
#1
Đã gửi 24-06-2019 - 05:15
$\frac{1}{a^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+1}\geqslant \frac{3}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
- ThinhThinh123 yêu thích
#2
Đã gửi 24-07-2019 - 11:01
Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có
$a^3 + 1 \geq 2a\sqrt{a}$
$b^3 + 1 \geq 2b\sqrt{b}$
$c^3 + 1 \geq 2c\sqrt{c}$
$a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc = 3*1 = 3$
Cộng 3 vế lại, ta có
$a^3 + b^3 + c^3 +1+1+1 \geq 3+3 = 6 \geq 2a\sqrt{a} + 2b\sqrt{b} + 2c\sqrt{c}$
=> $\frac{a\sqrt{a}}{2} +\frac{b\sqrt{b}}{2}+\frac{c\sqrt{c}}{2} \leq \frac{3}{2}$
=> $\frac{a^3}{2a\sqrt{a}}+\frac{b^3}{2b\sqrt{b}}+\frac{c^3}{2c\sqrt{c}} \leq \frac{3}{2}$
Mà $\frac{a^3}{a^3+1} + \frac{b^3}{b^3+1}+\frac{c^3}{c^3+1} \leq \frac{a^3}{2a\sqrt{a}}+\frac{b^3}{2b\sqrt{b}}+\frac{c^3}{2c\sqrt{c}}$
=> $\frac{a^3}{a^3+1} +\frac{b^3}{b^3+1}+\frac{c^3}{c^3+1} \leq \frac{3}{2}$
=> $3 - \frac{1}{a^3+1}-\frac{1}{b^3+1}-\frac{1}{c^3+1} \leq \frac{3}{2}$
=> $\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1} \geq \frac{3}{2}$ $(1)$
Ta có:
$(a+b)(b+c)(c+a)$
$= 2abc + ab(a+b)+ bc(b+c)+ca(c+a)$
$= 2 + \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b}$
$= 2 +(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})$
$\geq 2+2+2+2=8$
=> $\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \sqrt[3]{8} = 2$
=> $\frac{1}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}} \leq \frac{3}{2}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$
=> $\frac{1}{a^3+1} +\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\geq \frac{3}{2} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
- ThinhThinh123 yêu thích
#3
Đã gửi 24-07-2019 - 11:41
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh