4 replies to this topic

[Nguyenkhanhdatchi]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa man $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$M=\sqrt{a^2-6a+25}+\sqrt{b^2-6b+25}+\sqrt{c^2-6c+25}$

Edited by tpdtthltvp, 15-07-2019 - 19:26.

[Tran Danh]

Cho $A = \sqrt{a^2 - 6a + 25}$

=> $2\sqrt{5} A = \sqrt{20*(a^2 - 6a + 25)} \leq a^2 - 6a + 45$

Tương tự, ta có

$M = \sqrt{a^2-6a+25} + \sqrt{b^2-6b+25} + \sqrt{c^2-6b+25}$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{a^2+b^2+c^2-6a-6b-6c+27}{2}+54$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{(a-3)^2 + (b-3)^2 +(c-3)^2}{2} + 54$

Thế 3 = a+b+c vào

=>$2\sqrt{5}M \leq \frac{(b+c)^2 + (a+c)^2 + (a+b)^2}{2} + 54$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{2a^2 + 2b^2+2c^2+2ab+2ac+2bc}{2}$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}{2}$

Ta có

$(a+b+c)^2 = 3^2 = 9 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \geq 3ab+3ac+3bc$

=> $ab+bc+ac \leq 3$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{9+3}{2} + 54 = 60$

=> $M \leq \frac{60}{2\sqrt5} = 6\sqrt{5}$

=> Giá trị lớn nhất của M là $6\sqrt5$

Đẳng thức xảy ra <=> $a=b=c=1$

[Gammaths11]

Cho $A = \sqrt{a^2 - 6a + 25}$

=> $2\sqrt{5} A = \sqrt{20*(a^2 - 6a + 25)} \leq a^2 - 6a + 45$

Tương tự, ta có

$M = \sqrt{a^2-6a+25} + \sqrt{b^2-6b+25} + \sqrt{c^2-6b+25}$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{a^2+b^2+c^2-6a-6b-6c+27}{2}+54$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{(a-3)^2 + (b-3)^2 +(c-3)^2}{2} + 54$

Thế 3 = a+b+c vào

=>$2\sqrt{5}M \leq \frac{(b+c)^2 + (a+c)^2 + (a+b)^2}{2} + 54$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{2a^2 + 2b^2+2c^2+2ab+2ac+2bc}{2}$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}{2}$

Ta có

$(a+b+c)^2 = 3^2 = 9 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \geq 3ab+3ac+3bc$

=> $ab+bc+ac \leq 3$

=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{9+3}{2} + 54 = 60$

=> $M \leq \frac{60}{2\sqrt5} = 6\sqrt{5}$

=> Giá trị lớn nhất của M là $6\sqrt5$

Đẳng thức xảy ra <=> $a=b=c=1$

hình như bạn nhầm lẫn chỗ này thì phải 

Edited by Gammaths11, 15-07-2019 - 15:55.

[Nguyenkhanhdatchi]

Bạn thử bộ số $\left ( a;b;c \right )=\left ( 3;0;0 \right )$ ta sẽ được $M> 6\sqrt{5}$

[Gammaths11]

Bạn thử bộ số $\left ( a;b;c \right )=\left ( 3;0;0 \right )$ ta sẽ được $M> 6\sqrt{5}$

nhưng hình như bạn làm ngược chỗ ấy bạn xem lại đi