Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa man $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$M=\sqrt{a^2-6a+25}+\sqrt{b^2-6b+25}+\sqrt{c^2-6c+25}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 15-07-2019 - 19:26
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa man $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$M=\sqrt{a^2-6a+25}+\sqrt{b^2-6b+25}+\sqrt{c^2-6c+25}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 15-07-2019 - 19:26
Cho $A = \sqrt{a^2 - 6a + 25}$
=> $2\sqrt{5} A = \sqrt{20*(a^2 - 6a + 25)} \leq a^2 - 6a + 45$
Tương tự, ta có
$M = \sqrt{a^2-6a+25} + \sqrt{b^2-6b+25} + \sqrt{c^2-6b+25}$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{a^2+b^2+c^2-6a-6b-6c+27}{2}+54$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{(a-3)^2 + (b-3)^2 +(c-3)^2}{2} + 54$
Thế 3 = a+b+c vào
=>$2\sqrt{5}M \leq \frac{(b+c)^2 + (a+c)^2 + (a+b)^2}{2} + 54$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{2a^2 + 2b^2+2c^2+2ab+2ac+2bc}{2}$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}{2}$
Ta có
$(a+b+c)^2 = 3^2 = 9 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \geq 3ab+3ac+3bc$
=> $ab+bc+ac \leq 3$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{9+3}{2} + 54 = 60$
=> $M \leq \frac{60}{2\sqrt5} = 6\sqrt{5}$
=> Giá trị lớn nhất của M là $6\sqrt5$
Đẳng thức xảy ra <=> $a=b=c=1$
Cho $A = \sqrt{a^2 - 6a + 25}$
=> $2\sqrt{5} A = \sqrt{20*(a^2 - 6a + 25)} \leq a^2 - 6a + 45$
Tương tự, ta có
$M = \sqrt{a^2-6a+25} + \sqrt{b^2-6b+25} + \sqrt{c^2-6b+25}$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{a^2+b^2+c^2-6a-6b-6c+27}{2}+54$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{(a-3)^2 + (b-3)^2 +(c-3)^2}{2} + 54$
Thế 3 = a+b+c vào
=>$2\sqrt{5}M \leq \frac{(b+c)^2 + (a+c)^2 + (a+b)^2}{2} + 54$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{2a^2 + 2b^2+2c^2+2ab+2ac+2bc}{2}$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}{2}$
Ta có
$(a+b+c)^2 = 3^2 = 9 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac \geq 3ab+3ac+3bc$
=> $ab+bc+ac \leq 3$
=> $2\sqrt{5}M \leq \frac{9+3}{2} + 54 = 60$
=> $M \leq \frac{60}{2\sqrt5} = 6\sqrt{5}$
=> Giá trị lớn nhất của M là $6\sqrt5$
Đẳng thức xảy ra <=> $a=b=c=1$
hình như bạn nhầm lẫn chỗ này thì phải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gammaths11: 15-07-2019 - 15:55
Bạn thử bộ số $\left ( a;b;c \right )=\left ( 3;0;0 \right )$ ta sẽ được $M> 6\sqrt{5}$
Bạn thử bộ số $\left ( a;b;c \right )=\left ( 3;0;0 \right )$ ta sẽ được $M> 6\sqrt{5}$
nhưng hình như bạn làm ngược chỗ ấy bạn xem lại đi
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh