3 replies to this topic

[supreme king]

Chứng minh rằng

 

$S=1+\sqrt{\frac{2+1}{2}}+\sqrt[3]{\frac{3+1}{3}}+...+\sqrt[n]{\frac{n+1}{n}}< n+1$

[Sugar]

Ta dễ có với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\left(1+\frac1{n^2}\right)^n > 1+n\cdot\frac1{n^2} \implies \sqrt[n]{\frac{n+1}n} < 1+\frac1{n^2}$$.

Áp dụng vào bài toán, ta có:

$$1+\sum_{i=2}^n \sqrt[i]{\frac{i+1}i} < 1+(n-1)+\sum_{i=2}^n \frac1{i^2} < n+1$$

 

THCS bữa nay khó thế ((

Edited by Sugar, 24-07-2019 - 15:46.

[supreme king]

Ta dễ có với mọi số nguyên dương $n$ thì

$$\left(1+\frac1{n^2}\right)^n > 1+n\cdot\frac1{n^2} \implies \sqrt[n]{\frac{n+1}n} < 1+\frac1{n^2}$$.

Áp dụng vào bài toán, ta có:

$$1+\sum_{i=2}^n \sqrt[i]{\frac{i+1}i} < 1+(n-1)+\sum_{i=2}^n \frac1{i^2} < n+1$$

 

THCS bữa nay khó thế ((

 chỗ $\left ( 1+\frac{1}{n^{2}} \right )^{n}> 1+n.\frac{1}{n^{2}}$ này là sao bạn

Edited by supreme king, 01-08-2019 - 20:15.

[toanND]

 chỗ $\left ( 1+\frac{1}{n^{2}} \right )^{n}> 1+n.\frac{1}{n^{2}}$ này là sao bạn

Bất đẳng thức Bernoulli đó

Edited by toanND, 01-08-2019 - 21:06.