2 replies to this topic

[supreme king]

Cho$x,y\geq 0$ và$x^{2}+y^{2}\doteq 1$. Chứng minh rằng

 

$\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

[Arthur Pendragon]

Do $x,y \geq 0$ và $x^2+y^2=1$ nên $0 \leq x \leq 1$;$0 \leq y \leq 1$

Suy ra $x^2 \geq x^3; y^2 \geq y^3$ và $1=x^2+y^2 \geq x^3+y^3$

Mặt khác, theo BĐT Holder:

$(x^3+y^3)(x^3+y^3)(1+1) \geq (x^2+y^2)^3=1$ Nên $x^3+y^3 \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

[supreme king]

Do $x,y \geq 0$ và $x^2+y^2=1$ nên $0 \leq x \leq 1$;$0 \leq y \leq 1$

Suy ra $x^2 \geq x^3; y^2 \geq y^3$ và $1=x^2+y^2 \geq x^3+y^3$

Mặt khác, theo BĐT Holder:

$(x^3+y^3)(x^3+y^3)(1+1) \geq (x^2+y^2)^3=1$ Nên $x^3+y^3 \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Mình chưa học Holder nên bạn còn cách khác không