1 reply to this topic

[nthkhnimqt]

Cho $X$ là một không gian đa chiều thực. Với $x, y\in\mathbb{X},$ tìm $\lambda\in\mathbb{R}:$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left ( \left \| \left ( n+ \lambda \right )x+ y \right \|- \left \| nx+ y \right \| \right )= \left \| \lambda x \right \|$$

Edited by DOTOANNANG, 22-06-2021 - 19:11.

[phuc_90]

Ta có $\left \| \left ( n+\lambda  \right )x+y \right \|\leq \left \| nx+y \right \|+\left \| \lambda x\right \| ,\forall n$

 

hay $\left \| \left ( n+\lambda  \right )x+y \right \|- \left \| nx+y \right \|\leq \left \| \lambda x\right \| ,\forall n$

 

Suy ra $\lim_{n\rightarrow \infty }\left (\left \| \left ( n+\lambda  \right )x+y \right \|- \left \| nx+y \right \|  \right )\leq \left \| \lambda x\right \|$  (*)

 

Đẳng thức (*) chỉ xảy ra khi và chỉ khi $\left \| \left ( n+\lambda  \right )x+y \right \|- \left \| nx+y \right \|=\left \| \lambda x\right \| ,\forall n$

 

Từ đây ta tìm được $\lambda=0$

Edited by phuc_90, 28-08-2021 - 17:00.