Chủ đề này có 6 trả lời

[Master Of Inequality]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=2$ và $ab+bc+ca>0$

Tìm min của $\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}$

[Hoang72]

Giả sử b = min.

Ta có $\sum \frac{1}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2-ac+a^2}=\frac{a^2-ac+c^2}{c^2a^2}+\frac{1}{c^2-ac+a^2}+\frac{1}{ac}\geq \frac{3}{ac}\geq \frac{12}{(a+c)^2}\geq \frac{12}{(a+b+c)^2}=3$.

[DBS]

Ta có: $\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)}}$.

Từ đó ta đưa về bài toán: Tìm Max: $P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$.

Giả sử: $0 \leq a \leq b \leq c \leq 2$.

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a(a-b)\leq 0 & \\ b(b-c)\leq 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 0\leq a^2-ab+b^2 \leq b^2 & \\ 0\leq a^2-ac+c^2 \leq c^2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\leq b^2c^2(b^2-bc+c^2)$

Từ $\left\{\begin{matrix} a+b+c=2 & \\ 0 \leq a \leq b \leq c \leq 2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow b+c\leq a+b+c\leq 3$

$\Rightarrow b^2c^2(b^2-bc+c^2)=(bc).(bc).(b^2-bc+c^2) \leq \frac{(b^2+bc+c^2)^3}{27} {\color{Red} \leq \frac{3^3}{27}=1}$

$\Rightarrow \frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{1}}=3$

 

 

Ps: Vị trí mình tô đỏ là chỗ mình chưa chứng minh được, bạn nào chứng minh được thì hãy gửi lời giải ạ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 29-04-2021 - 21:46

[Master Of Inequality]

Ta có: $\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)}}$.

Từ đó ta đưa về bài toán: Tìm Max: $P=(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)$.

Giả sử: $0 \leq a \leq b \leq c \leq 2$.

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a(a-b)\leq 0 & \\ b(b-c)\leq 0 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix} 0\leq a^2-ab+b^2 \leq b^2 & \\ 0\leq a^2-ac+c^2 \leq c^2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)\leq b^2c^2(b^2-bc+c^2)$

Từ $\left\{\begin{matrix} a+b+c=2 & \\ 0 \leq a \leq b \leq c \leq 2 & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow b+c\leq a+b+c\leq 3$

$\Rightarrow b^2c^2(b^2-bc+c^2)=(bc).(bc).(b^2-bc+c^2) \leq \frac{(b^2+bc+c^2)^3}{27} {\color{Red} \leq \frac{3^3}{27}=1}$

$\Rightarrow \frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{1}}=3$

 

 

Ps: Vị trí mình tô đỏ là chỗ mình chưa chứng minh được, bạn nào chứng minh được thì hãy gửi lời giải ạ!

Không chứng minh được nha, ví dụ $c=1,(9)$ là trật rồi

[DBS]

Không chứng minh được nha, ví dụ $c=1,(9)$ là trật rồi

Bạn giải thích kỹ xem!

[Master Of Inequality]

Bạn giải thích kỹ xem!

Lấy c=1,8 nha 

$c=1,8\rightarrow a=b=0,1\rightarrow b^2+bc+c^2=0,01+0,18+3,24=3,43>3$

[DBS]

Lấy c=1,8 nha 

$c=1,8\rightarrow a=b=0,1\rightarrow b^2+bc+c^2=0,01+0,18+3,24=3,43>3$

Vậy nếu theo hướng của mình thì bạn hãy thử xem bài toán này!
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=2$. Chứng minh rằng $(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\leq 3$. - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học (diendantoanhoc.org)