3 replies to this topic

[salim]

Cho hàm số $y=x^3 - 3x$. Gọi đồ thị là (C).

a. CMR: Đường thẳng $(d): y=m(x+1) + 2$ luôn cắt (C) tại điểm A cố định.

b. Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A,B,C phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B và C vuông góc với nhau.

Edited by perfectstrong, 14-05-2021 - 13:35.
Tiêu đề + LaTeX

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $y=f(x)=x^3 - 3x$. Gọi đồ thị là (C).

a. CMR: Đường thẳng $(d): y=m(x+1) + 2$ luôn cắt (C) tại điểm A cố định.

b. Tìm m để (d) cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm A,B,C phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B và C vuông góc với nhau.

a) Đường thẳng $(d):y=m(x+1)+2$ luôn đi qua điểm cố định $A(-1;2)$

    Điểm $A(-1;2)$ lại thuộc $(C)$

    $\Rightarrow (d)$ luôn cắt $(C)$ tại điểm cố định $A(-1;2)$.

 

b) Điều kiện để $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt là phương trình $x^3-3x=m(x+1)+2$ có $3$ nghiệm phân biệt

    $\Leftrightarrow$ phương trình $(x+1)(x^2-x-2)=m(x+1)$ có $3$ nghiệm phân biệt

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m> -\frac{9}{4}\\m\neq 0 \end{matrix}\right.$

    Khi đó, $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm $A,B,C$ phân biệt với $x_A=-1$ ; $x_B=\frac{1-\sqrt{4m+9}}{2}$ ; $x_C=\frac{1+\sqrt{4m+9}}{2}$

    Gọi hệ số góc của tiếp tuyến với $(C)$ tại $B,C$ lần lượt là $k_B$ và $k_C$.

    $k_B=f'(x_B)=3(x_B^2-1)=\frac{6m+9-3\sqrt{4m+9}}{2}$

    $k_C=f'(x_C)=3(x_C^2-1)=\frac{6m+9+3\sqrt{4m+9}}{2}$

    Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau $\Leftrightarrow k_B.k_C=-1$

    $\Leftrightarrow 9m^2+18m+1=0\Leftrightarrow m=...$ hoặc $m=...$
 

Edited by chanhquocnghiem, 14-05-2021 - 15:34.

[salim]

a) Đường thẳng $(d):y=m(x+1)+2$ luôn đi qua điểm cố định $A(-1;2)$

    Điểm $A(-1;2)$ lại thuộc $(C)$

    $\Rightarrow (d)$ luôn cắt $(C)$ tại điểm cố định $A(-1;2)$.

 

b) Điều kiện để $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt là phương trình $x^3-3x=m(x+1)+2$ có $3$ nghiệm phân biệt

    $\Leftrightarrow$ phương trình $(x+1)(x^2-x-2)=m(x+1)$ có $3$ nghiệm phân biệt

    $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}m> -\frac{9}{4}\\m\neq 0 \end{matrix}\right.$

    Khi đó, $(d)$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm $A,B,C$ phân biệt với $x_A=-1$ ; $x_B=\frac{1-\sqrt{4m+9}}{2}$ ; $x_C=\frac{1+\sqrt{4m+9}}{2}$

    Gọi hệ số góc của tiếp tuyến với $(C)$ tại $B,C$ lần lượt là $k_B$ và $k_C$.

    $k_B=f'(x_B)=3(x_B^2-1)=\frac{6m+9-3\sqrt{4m+9}}{2}$

    $k_C=f'(x_C)=3(x_C^2-1)=\frac{6m+9+3\sqrt{4m+9}}{2}$

    Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ vuông góc với nhau $\Leftrightarrow k_B.k_C=-1$

    $\Leftrightarrow 9m^2+18m+1=0\Leftrightarrow m=...$ hoặc $m=...ình

mình không hiểu chỗ $m> \frac{-9}{4}$

[chanhquocnghiem]

mình không hiểu chỗ $m> \frac{-9}{4}$

phương trình $(x+1)(x^2-x-2)=m(x+1)$ có $3$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ phương trình $x^2-x-(m+2)=0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $-1$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta =1+4(m+2)=4m+9> 0\\m\neq 0 \end{matrix}\right.$

(Nếu $m=0$ thì sẽ có một nghiệm là $-1$)