Chủ đề này có 1 trả lời

[DBS]

Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$$\frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\sqrt{\frac{2\sqrt{yz}}{1+\sqrt{xy}}}\geqslant2$$

 

Ps: Sorry mọi người vì cái tiêu đề ạ, nó bị giới hạn kí tự rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DBS: 18-05-2021 - 08:46

[Hunghcd]

Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$$\frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\sqrt{\frac{2\sqrt{yz}}{1+\sqrt{xy}}}\geqslant2$$

 

Ps: Sorry mọi người vì cái tiêu đề ạ, nó bị giới hạn kí tự rồi

Ta có VT$\geq \frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\frac{4\sqrt{yz}}{2\sqrt{yz}+\sqrt{xy}+1}$

Đặt $1+\sqrt{yz}=a,\sqrt{xy}+\sqrt{yz}=b$

Cần cm$\frac{b+1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4(a-1)}{a+b}\geq 3.$

Quy đồng,khai triển ta được$(x-y)^2+y(x-y)^2\geq 0$(luôn đúng)

dấu= khi xy=yz=1