Cho a, b, c là các số thực không âm thoả $a+b+c=1$. Tìm max $a^{4}b+b^{4}c+c^{4}a$
#2
Đã gửi 04-07-2021 - 21:23
Giả sử a = mid{a, b, c}.
Khi đó $(a-b)(a-c)\leq 0\Rightarrow a^2+bc\leq ab+ac\Rightarrow a^2b^3+b^4c\leq ab^4+ab^3c$.
Từ đó $a^4b+b^4c+c^4a\leq ab^4+ab^3c-a^2b^3+a^4b+c^4a$.
+) Nếu $a\leq b$ thì $a^4b\leq a^2b^3$, suy ra $a^4b+b^4c+c^4a\leq ab^4+c^4a\leq a(b+c)^4$.
+) Nếu $a\leq c$ thì $a^4b\leq ab^2c^2$, suy ra $a^4b+b^4c+c^4a\leq ab^4+ab^3c+ab^2c^2+c^4a\leq a(b+c)^4$.
Do đó ta luôn có $a^4b+b^4c+c^4a\leq a(b+c)^4$.
Ta lại có $a(b+c)^4\leq \left ( \frac{a+4.\frac{b+c}{4}}{5} \right )^5.4^4\leq \frac{4^4}{5^5}$.
Do đó $a^4b+b^4c+c^4a\leq \frac{256}{3125}$. Đẳng thức xảy ra khi $b=0;a=\frac{1}{5};c=\frac{4}{5}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 05-07-2021 - 07:51
- DBS, DaiphongLT và kogioitoan thích
#3
Đã gửi 05-07-2021 - 06:54
Giả sử a = mid{a, b, c}.
Khi đó $(a-b)(a-c)\leq 0\Rightarrow a^2+bc\leq ab+ac\Rightarrow a^2b^3+b^4c\leq ab^4+ab^3c$.
Từ đó $a^4b+b^4c+c^4a\leq ab^4+ab^3c-a^2b^3+a^4b+c^4a$.
+) Nếu $a\leq b$ thì $a^4b\leq a^2b^3$, suy ra $a^4b+b^4c+c^4a\leq ab^4+c^4a\leq a(b+c)^4$.
+) Nếu $a\leq c$ thì $a^4b\leq ab^2c^2$, suy ra $a^4b+b^4c+c^4a\leq ab^4+ab^3c+ab^2c^2+c^4a\leq a(b+c)^4$.
Do đó ta luôn có $a^4b+b^4c+c^4a\leq a(b+c)^4$.
Ta lại có $a(b+c)^4\leq \left ( \frac{a+4.\frac{b+c}{4}}{5} \right )^5.4^4\leq \frac{4^4}{5^5}$.
Do đó $a^4b+b^4c+c^4a\leq \frac{256}{3125}$. Đẳng thức xảy ra khi $b=0;a=1;c=2$.
ơ $a+b+c=1$ mà
$\text{Mathematics is beautiful as my ex-girlfriend:)))))}$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh