Giải phương trình nghiệm nguyên :
$1+\sqrt{x+y+3} =\sqrt{x} +\sqrt{y}$
Giải phương trình nghiệm nguyên :
$1+\sqrt{x+y+3} =\sqrt{x} +\sqrt{y}$
ĐK: $x,y\in \mathbb{N}$
Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{xy} \Rightarrow x,y\geq 2$ (vì nếu có số nào bằng $1$ thì VT $>$ VP)
Giả sử $x=y$. Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{2x+3}=x \Rightarrow x^{2}-6x+1=0$ (ko có nghiệm nguyên)
Xét $x\neq y$. Vì vai trò của $x,y$ như nhau nên ko giảm tính tổng quát, giả sử $x>y$
$y=2$: Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+5}=\sqrt{2x} \Leftrightarrow 4\sqrt{x+5}=x-9 \Rightarrow x^{2}-34x+1=0$ (ko có nghiệm nguyên)
$y=3$: Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+6}=\sqrt{3x} \Leftrightarrow 2\sqrt{x+6}=x-5 \Rightarrow 4x^{2}-24x+1=0$ (ko có nghiệm nguyên)
Xét $x>y>3$: Pt $\Leftrightarrow xy+1-x-y=4\sqrt{xy}<2(x+y) \Rightarrow (y-3)^{2}<(x-3)(y-3)<8 \Rightarrow y\in$ {$4;5$}
$y=4$: Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+7}=2\sqrt{x} \Leftrightarrow 4\sqrt{x+7}=3x-11 \Rightarrow 9x^{2}-82x+9=0 \Rightarrow x=9$. Thử lại thấy đúng
$y=5$: Pt $\Leftrightarrow 2+\sqrt{x+8}=\sqrt{5x} \Leftrightarrow \sqrt{x+8}=x-3 \Rightarrow x^{2}-7x+1=0$ (ko có nghiệm nguyên)
Kết luận: Có $2$ cặp nghiệm $(x;y)$ là $(4;9)$ và $(9;4)$
Nhận xét ngay, $x,y$ là các số chính phương.
Đặt $a=\sqrt{x},b=\sqrt{y}$.
Khi đó, $1+\sqrt{a^2+b^2+3}=a+b$. Đặt $S=a+b,P=ab$.
Suy ra: $1+\sqrt{S^2-2P+3}=S\Rightarrow P=S+1$.
Nên $(a-1)(b-1)=2$ tới đây đơn giản
Vậy $(a,b)=(2,3),(3,2)$ hay $(x,y)=(4,9),(9,4)$.
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh