Chủ đề này có 2 trả lời

[Dang Hong Ngoc]

Có bao nhiêu cách chia tập hợp $S$ gồm $n$ phần tử thành $2$ tập con không giao nhau và hợp của chúng bằng $S$.

[Dang Hong Ngoc]

Với $S=\varnothing$: Dễ thấy chỉ có một cách chia ($\varnothing$ và $\varnothing$).

Với $S\ne\varnothing$:

$\bullet$ $n$ lẻ: Có $2^{n}$ cách chọn một tập con $A$ của $S$, mỗi tập $A$ ta xác định được duy nhất một tập con thứ hai thoả đề là $B=S\setminus A$

Do $A,B$ theo đề là hai tập không phân biệt nên ta chia bớt số cách bị trùng, trường hợp này có: $\dfrac{2^{n}}{2}=2^{n-1}$ cách.

$\bullet$ $n$ chẵn: Tương tự TH trên, ta cũng chia bớt số cách bị trùng, nhưng trong đó có $1$ cách đếm không bị trùng, là khi $\vert A\vert=\vert B\vert=\dfrac{n}{2}$, do đó số cách trong TH này là: $2^{n-1}+1$ cách.

Vừa nghĩ được cách này, mọi người xem giúp mình đúng không ạ 

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu cách chia tập hợp $S$ gồm $n$ phần tử thành $2$ tập con không giao nhau và hợp của chúng bằng $S$.

Đề bài cần bổ sung : "... $n$ phần tử khác nhau từng đôi một..."

--------------------------------------------

 

+ Nếu $n=0$ : Chỉ có $1$ cách.

+ Nếu $n\geqslant 1$ :

   Giả sử ta đặt tên $2$ tập con đó là $A$ và $B$.

   Số cách chia chính là số cách chọn các phần tử của $A$ và bằng $\sum_{k=0}^{n}C_n^k=2^n$.

   Nhưng theo đề bài, 2 tập con đó không phân biệt (không đặt tên hay đánh số) nên đáp án sẽ là $\frac{2^n}{2}=2^{n-1}$ (không phân biệt $n$ chẵn hay lẻ)