Cho $a,b,c,x,y,z \epsilon R^+$.CMR:
$ax+by+cz+\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})} \geq \frac{2}{3}(x+y+z)(a+b+c)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-08-2021 - 19:55
$ax+by+cz+\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})} \geq \frac{2}{3}(x+y+z)(a+b+c)$
Bắt đầu bởi GiveMeATest, 16-08-2021 - 17:57
#2
Đã gửi 16-08-2021 - 20:17
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Đặt $t=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}}$
Giả sử $(x,y,z)=(tm,tn,tp)$ thì $a^2+b^2+c^2=m^2+n^2+p^2$
Ta quy về chứng minh: $am+bn+cp+a^2+b^2+c^2\geqslant \frac{2}{3}(a+b+c)(m+n+p)$
$\Leftrightarrow \frac{4}{3}(a+b+c)(m+n+p)\leqslant (a+m)^2+(b+n)^2+(c+p)^2$
Bất đẳng thức cuối đúng do: $\frac{4}{3}(a+b+c)(m+n+p)\leqslant \frac{(a+b+c+m+n+p)^2}{3}\leqslant (a+m)^2+(b+n)^2+(c+p)^2$
P/s: Bài này có thể quy về Chebyshev
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-08-2021 - 20:19
- GiveMeATest yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
#3
Đã gửi 16-08-2021 - 21:15
Hunghcd
-
- Thành viên
-
- 83 Bài viết
Hạ sĩ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
