Chủ đề này có 3 trả lời

[youknower]

Cho tam giác $ABC$ có $E, F$ thay đổi trên trung trực $AB, AC$ sao cho $AE$ đối xứng $AF$ qua phân giác góc $A. E$ đối xứng $M$ qua $AB, F$ đối xứng $N$ qua $AC$.

a. Gọi $I$ là giao điểm $BE, CF . K$ là giao điểm $BM, CN$. 

Chứng minh $IK$ đi qua điểm cố định

b. Gọi $X$ là giao điểm $BF, CE. Y$ là giao điểm $BN, CM$.

Chứng minh $XY$ đi qua điểm cố định

[dat09]

Gọi BE giao CN tại P, CF giao BM tại Q, lấy S sao cho BS,CS tiếp xúc với (ABC)

Ta có $\angle QBP=2\angle ABE=2\angle EAB=2\angle ACP=\angle QCP$ suy ra A,B,C,P,Q đồng viên

Do $B(SKIC)=B(BQPC)=C(BQPC)=C(BIKS)=C(SKIB)$ nên K,I,S thẳng hàng

Vậy IK luôn đi qua S cố định.

[youknower]

Gợi ý: $XY$ luôn đi qua điểm đối trung của tam giác $ ABC$

[dat09]

Gợi ý: $XY$ luôn đi qua điểm đối trung của tam giác $ ABC$

Gọi trung trực của AB cắt tiếp tuyến tại A ở G, cắt BC tại J. Định nghĩa tương tự với H và D. Gọi CG cắt BH tại T.

Đặt $\angle EAB=\angle FAC=\alpha$, ta có:

$C(XTYB)=(EGMJ)=B(EGMJ)=\frac{\sin (\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BE})}{\sin (\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BG})}:\frac{\sin (\overrightarrow{BJ},\overrightarrow{BE})}{\sin (\overrightarrow{BJ},\overrightarrow{BG})}=-\frac{\sin 2\alpha }{\sin (C-\alpha )}:\frac{\sin (B-\alpha )}{\sin A}$

Tương tự $B(XTYC)=-\frac{\sin 2\alpha }{\sin (B-\alpha )}:\frac{\sin (C-\alpha )}{\sin A}$

Suy ra X,Y,T thẳng hàng. Vậy XY luôn đi qua điểm Lemoine T của $\Delta ABC.$