Chủ đề này có 1 trả lời

[dangthanhbn]

Chứng minh rằng nếu a,b,c >0 và a+b+c=3 thì 

$(ab+bc+ca)(\frac{a}{b^{2}+9}+\frac{b}{c^2+9}+\frac{c}{a^2+9})\leq \frac{9}{10}$

[Hoang72]

Đặt $0<q=ab+bc+ca\leq 3$.

Ta có $\sum_{cyc}\frac{a}{b^2+9}=\sum_{cyc}\frac{a}{9}-\sum_{cyc}\frac{ab^2}{9(b^2+9)}$.

Có $\sum_{cyc}\frac{ab^2}{9(b^2+9)}=\sum_{cyc}\frac{a^2b^2}{9ab^2+81a}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{9(ab^2+bc^2+ca^2)+243}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)+243}=\frac{q^2}{9(9-2q)+243}$.

Do đó ta chỉ cần cm $q(\frac{1}{3}-\frac{q^2}{9(9-2q)+243})\leq \frac{9}{10}\Leftrightarrow \frac{(q-3)(5q^2+45q-486)}{90(18-q)}\geq 0$. (luôn đúng)